Question

y=(x-1)^2(x-2)^2+(-3≤x≤4)值域？

Answer 1

首先，我们需要找到这个函数的最小值，以及在哪个位置上取到这个最小值。最小值的位置称为函数的最小点。当然，我们还需要找到函数的最大值。

要找到这个函数的最小点，我们需要计算它的导数。对于这个函数，我们可以使用乘法法则和链式法则来计算它的导数。

y' = 2(x-1)(x-2)(2x-3)

要找到导数的零点，我们需要解方程2(x-1)(x-2)(2x-3) = 0。这个方程有三个解：x=1，x=2，和x=3/2。

我们需要检查这些解是否为极值点。我们可以使用二阶导数测试来确定这些点是否为极小值点。

如果二阶导数在这些点处为正数，则这些点为极小值点；

如果二阶导数在这些点处为负数，则这些点为极大值点；

如果二阶导数在这些点处为零，则无法确定。

y'' = 12x^2 - 30x + 16

将x=1，x=2，和x=3/2带入y''中得到：

y''(1) = -2，y''(2) = 2，y''(3/2) = 1/2

因此，x=1为极大值点，x=2为极小值点，而x=3/2处的情况需要进一步检查。由于y''(3/2)>0，因此x=3/2也是一个极小值点。

现在，我们知道这个函数的最小值为y(2)=0，在x=2处取到。我们还需要找到这个函数的最大值。由于这个函数是一个二次函数，因此它在x趋近于正无穷大和负无穷大时趋于正无穷大。因此，我们只需要在定义域内找到y的最大值。

将x的值代入原函数中，我们可以得到函数在[-3,4]的值域。注意到当x=1或2时，函数的值为0，因此y的最大值必须在这两个点之外取到。

当x=-3或x=4时，函数的值分别为16和1。

因此，函数的值域为[0,16]。