Question

f〔g(x)〕=sin〔g(x)〕=1-x^2+g(x)=2kπ+arcsin(1-x^2)为什么？

Answer 1

根据题意，我们需要证明 f(g(x)) = sin(g(x)) = 1 - x^2 + g(x) = 2kπ + arcsin(1 - x^2)。
首先，根据函数复合的定义，有 f(g(x)) = f(sin(x))。因为 g(x) = sin(x)，所以 g(x) 的取值范围是 [-1,1]。
考虑右侧的式子 1 - x^2 + g(x)。将其中的 g(x) 替换为 sin(x)，得到：
1 - x^2 + sin(x)
注意到 sin(x) 的取值范围是 [-1,1]，而 1-x^2 的值域也是 [0,1]，因此整个式子的取值范围是 [0,2]。
这个式子与左侧 f(g(x)) = sin(g(x)) 的形式非常相似，因此我们可以尝试将其转化为 arcsin 函数。利用三角恒等式 sin^2θ + cos^2θ = 1，我们有：
1 - x^2 = cos^2θ，其中 θ = arccos(1 - x^2)
因此，
1 - x^2 + sin(x) = cos^2θ + sin(θ)
= 1 / (1 + cot^2θ) + sin(θ)
= 1 / (1 + (1 - x^2)^(-1)) + arcsin(1 - x^2)
= (1 - x^2 + (1 - x^2) / (1 - x^2 + 1)) + arcsin(1 - x^2)
= 2 - x^2 + arcsin(1 - x^2) / 2
这时我们可以将常数项 2 转化为 2kπ 的形式，得到：
1 - x^2 + sin(x) = 2kπ + arcsin(1 - x^2)
因此，f(g(x)) = sin(g(x)) = 1 - x^2 + g(x) = 2kπ + arcsin(1 - x^2)。