Question

[抛物线椭圆双曲线定义] 椭圆双曲线抛物线第二定义

Answer 1

抛物线

平面内, 到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹(或集合) 称之为抛物线.

另外,F 称为" 抛物线的焦点",l 称为" 抛物线的准线".

定义焦点到抛物线的准线的距离为" 焦准距", 用p 表示.p>0.

以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面

直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。

2. 抛物线的标准方程

右开口抛物线:y^2=2px

左开口抛物线:y^2=-2px

上开口抛物线:y=x^2/2p

下开口抛物线:y=-x^2/2p

3. 抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)

离心率:e=1

焦点:(p/2,0)

准线方程l:x=-p/2

顶点:(0,0)

4. 它的解析式求法：三点代入法

5. 抛物线的光学性质:经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴.

抛物线：y = ax* + bx + c

就是y 等于ax 的平方加上 bx 再加上 c

a > 0时开口向上

a

c = 0时抛物线经过原点

b = 0时抛物线对称轴为y 轴

还有顶点式y = a（x-h ）* + k

就是y 等于a 乘以（x-h ）的平方+k

h 是顶点坐标的x

k 是顶点坐标的y

一般用于求最大值与最小值

抛物线标准方程:y^2=2px

它表示抛物线的焦点在x 的正半轴上, 焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2

由于抛物线的焦点可在任意半轴, 故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

椭圆

目录·定义

·标准方程

·公式

·相关性质

·历史

定义

椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线的），现在高中教材上有

两种定义：

1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）；

2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。这两个定义是等价的

标准方程

高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1

其中a>0，b>0。a 、b 中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们分别叫椭圆的长半轴和短半轴）当a>b时，焦点在x 轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ 公式

椭圆的面积公式

S=π(圆周率)×a×b(其中a,b 分别是椭圆的长半轴, 短半轴的长).

或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B 分别是椭圆的长轴, 短轴的长).

椭圆的周长公式

椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。

椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如

L = 4a * sqrt(1-e^sin^t)的(0 - pi/2)积分, 其中a 为椭圆长轴,e 为离心率

相关性质

由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。

例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：

将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2

对于截面上任意一点P ，过P 做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2 则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2

由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点

用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆

椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）

历史

关于圆锥截线的某些历史：圆锥截线的发现和研究起始于古希腊。 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等几何学大师都热衷于圆锥截线的研究，而且都有专著论述其几何性质，其中以 Apollonius 所著的八册《圆锥截线论》集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲线；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世纪之交，Kepler 行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。Kepler 三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破，它不但开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。由此可见，圆锥截线不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。

双曲线

数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点的距离的差始终为一定值时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。两个定点叫做双曲线的焦点(focus)。

● 双曲线的第二定义:

到定点的距离与到定直线的距离之比=e , e∈(1,+∞)

·双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2,动点与两个定点之差为定值2a

·双曲线的参数方程为：

x=X+a·secθ

y=Y+b·tanθ

(θ为参数)

·几何性质：

1、取值区域：x≥a,x≤-a

2、对称性：关于坐标轴和原点对称。

3、顶点：A(-a,0) A’(a,0) AA’叫做双曲线的实轴，长2a ；

B(0,-b) B’(0,b) BB’叫做双曲线的虚轴，长2b 。

4、渐近线：

y=±(b/a)x

5、离心率：

e=c/a 取值范围：（1，+∞)

6 双曲线上的一点到定点的距离和到定直线的距离的比等于双曲线的离心率7 双曲线焦半径公式：圆锥曲线上任意一点到焦点距离。

8 等轴双曲线 双曲线的实轴与虚轴长相等

2a=2b e=√2

9 共轭双曲线

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 与 (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 叫等轴双曲线

（1）共渐近线

（2）e1+e2>=2√2

反比例函数的图象是双曲线吗?

双曲线的标准公式为：

X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)

而反比例函数的标准型是 xy = c (c 0)

但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的，可以设旋转的角度为 a a0）

（

(a为双曲线渐进线的倾斜角)

则有

X = xcosa + ysina

Y = xcosa - ysina

X^2 - Y^2 = (xcosa+ysina)^2 -(xcosa - ysina)^2

= 4xy(cosasina)

= 4c(cosasina)

所以

X^2/4c(cosasina) - Y^2/4c(cosasina) = 1 (4c(cosasina)>0) Y^2/(-4c(cosasina)) - X^2/(-4c(cosasina)) = 1 (4c(cosasina)