Question

为什么幂级数收敛,而∑ln(1+1/ n)发散呢？

Answer 1

幂级数的收敛性：
幂级数是形如Σaₙxⁿ的级数，其中aₙ是系数，x是变量。幂级数的收敛性受到变量x的取值范围的影响。对于幂级数Σaₙxⁿ，存在一个称为收敛半径的值r，当x在(-r, r)范围内时，幂级数收敛，而在|x| > r时发散。

幂级数的收敛性与其系数aₙ的特性有关。根据幂级数的收敛定理，如果对于幂级数Σaₙxⁿ，存在一个正数R，使得在x的取值范围(-R, R)内，级数收敛，那么收敛半径就等于R。这个定理是幂级数的基本性质之一。

级数Σln(1+1/n)的发散性：
级数Σln(1+1/n)是一个无穷级数，每一项为ln(1+1/n)。这个级数的收敛性可以通过判断其项的性质来确定。

当n趋向于无穷大时，ln(1+1/n)的值趋近于0，但并不是恒为0。实际上，ln(1+1/n)在每一项都是正数，且随着n的增大，项的值趋近于0。由于级数Σln(1+1/n)中的项不趋于零，这个级数被认为是发散的。

综上所述，幂级数的收敛性与收敛半径和系数的特性有关，而级数Σln(1+1/n)的项并不趋近于零，因此被认为是发散的。注意，这里的讨论仅适用于特定的幂级数和级数，对于其他幂级数和级数，可能存在不同的收敛性结果。

Answer 2

分析如下：

首先，ln(1+1/n)

＝ln((n+1)/n)

＝ln(n+1)-ln n

从而，∑ln(1+1/n)

=-ln1+ln(n+1)

=ln(n+1)

于是，lim ln(n+1)=∞

最后，得到∑ln(1+1/n)发散。

扩展资料：

幂级数是研究有次序的可数无穷个函数的和的收敛性及其极限值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。无穷级数收敛时有一个唯一的和；发散的无穷级数没有极限值，但有其他的求和方法，如欧拉和、切萨罗和、博雷尔和等等。

函数收敛定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b