Question

关于椭圆的数学题

已知椭圆以原点为中心，焦点在x轴上，短轴长为2根号3，离心率为e=½。
过椭圆的右焦点F₂，做一倾斜角为45°的直线，交椭圆与A.B两点，求线段AB的长度...
谢谢...

Answer 1

设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，右焦点F2(c,0)
短轴长2根号3，则b=根号3
离心率=1/2，则c/a=1/2
因为椭圆a^2=b^2+c^2，
联立上述三式可得
a=2, b=根号3, c=1
所以椭圆方程为x^2/4+y^2/3=1
右焦点F2(1,0)
因为直线AB倾斜角为45度
所以斜率k=tan45度=1
所以直线方程为y-0=k(x-1)即y=x-1
设A(x1,y1) B(x2,y2)
联立椭圆方程和直线方程得
7x^2-8x-8=0
7y^2+6y-9=0
由韦达定理
x1+x2=8/7
x1x2=-8/7
y1+y2=-6/7
y1y2=-9/7
AB的长度=根号（(x1-x2)^2+(y1-y2)^2）
=根号((x1+x2)^2-4x1x2+(y1+y2)^2-4y1y2)
=根号（(8/7)^2-4*(-8/7)+(-6/7)^2-4*(-9/7))
=根号(576/49)
=24/7