Question

概率论简单求概率密度函数的书上例题

例题2.4.3 和2.4.6 中Y同样为e^x，请问为什么讨论时，2.4.3要讨论y小于等于0时和y大于0
2.4.6不用讨论
上课没太懂，请各位详细解答与讲解思路，谢谢

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Answer 1

这两个问题的区别在于随机变量X的分布。在2.4.3中，X服从正态分布N(0, 1)，而在2.4.6中，X服从均匀分布U(0, 1)。因为这两种分布的性质不同，所以在求解Y的概率密度函数时需要考虑不同的情况。
在2.4.3中，X服从正态分布N(0, 1)，其取值范围为实数域，即X的取值可以为负数。由于Y=e^X，当X为负数时，Y的取值范围为(0, 1]。因此，为了求解Y的概率密度函数，需要讨论Y小于等于0和Y大于0的两种情况。
在2.4.6中，X服从均匀分布U(0, 1)，其取值范围为[0, 1]。这意味着X的取值不会为负数。由于Y=e^X，因此Y的取值范围为[e^0, e^1] = [1, e]。在这种情况下，不需要讨论Y小于等于0的情况，因为X的取值范围保证了Y的取值永远大于0。

Answer 2

这段文字主要是介绍在概率论与数理统计中，如何通过已知随机变量的分布函数或概率密度函数来求另一个随机变量的概率密度函数。具体来说，通过两个例题来说明如何使用这种方法。
在第一个例题中，已知两个随机变量X和Y，其中Y是通过对X进行某种函数变换得到的。如果我们已知X的概率密度函数或分布函数，那么我们可以通过变换函数的性质来求出Y的分布函数，然后再对其求导数得到概率密度函数。这个例题中，Y的变换函数是e^X，X的分布函数和概率密度函数分别为P(X≤y)和f(x)，我们通过变换函数得到Y的分布函数为P(Y≤y)=P(e^X≤y)=P(X≤ln y)=F_X(ln y)，然后对其求导数得到Y的概率密度函数为f_Y(y)=f_X(ln y)·(1/y)，其中ln y大于0。
在第二个例题中，我们已知随机变量X服从均匀分布U[0,1)，需要求出变换函数Y=e^X的概率密度函数。首先我们需要求出Y的分布函数，对于y在(0,1)内，有P(Y≤y)=P(e^X≤y)=P(X≤ln y)=ln y，对于y小于等于0和大于1的情况，Y的概率密度函数为0。然后对分布函数求导数得到概率密度函数为f_Y(y)=1/y，其中y在(0,1)内，其他情况概率密度函数为0。
需要注意的是，在一些情况下，变换函数不是严格单调增或严格单调减，这时需要对变换函数进行分类讨论，以便求出Y的分布函数和概率密度函数。

Answer 3

在讨论二元函数的定义域和值域时，需要考虑函数的实际意义和性质。在例题2.4.3中，二元函数 $z=e^{x+y}$ 是指数函数，它的定义域与值域都是正实数，因此需要分类讨论：
- 当函数取到 $y=0$ 时，对应值为 $z=e^x$，因此在 $y\leqslant 0$ 时，定义域包含 $x\in\mathbb{R},y\leqslant 0$，在 $y > 0$ 时，定义域仅包含 $x\in\mathbb{R},y > 0$。
- 同理，当函数取到 $x=0$ 时，对应值为 $z=e^y$，因此可以得到在 $x > 0$ 时，定义域仅包含 $x > 0, y \in \mathbb{R}$。
在例题2.4.6中，二元函数 $z=\ln(x^2+y^2)$ 的定义域为 $\{(x,y)\mid x^2+y^2>0\}$，即平面上以原点为圆心的任意一个圆外面的点。而该函数的值域为 $\mathbb{R}$，可以表示为所有对数函数 $\ln (t)$ 的取值，不需要分类讨论。
因此，讨论是否需要分类需要根据具体函数的性质和定义域来确定，不能一概而论。