Question

求助，一道线性代数

已知ξ₁，ξ₂是齐次线性方程组AX=0的两个线性无关的解，η为非齐次线性方程组AX=b的解,求证: η,ξ ₁+η,ξ₂+η 线性无关.

Answer 1

设 k1(ξ1+η)+k2(ξ2+η)+k3η=0，（1）
则 A[k1(ξ1+η)+k2(ξ2+η)+k3η]=0，
所以 b(k1+k2+k3)=0，则 k1+k2+k3=0，（2）
代入（1）得 k1ξ1+k2ξ2=0，
由于 ξ1、ξ2 线性无关，因此 k1=k2=0，（3）
代入（2）得 k3=0，
所以由（1）得 ξ1+η，ξ2+η，η 线性无关 。