Question

新高考数学一卷立体几何不用空间向量能做吗？

Answer 1

可以呀。

你在后面上作B3C3∥A2D2，且BB3=AA2

接着你证明B3C3∥B2C2（证明一下同位角）即可完成第一小题（证明平行的几何基本方法是将平行线“撞上”对方平面，这一条你可不要告诉我你居然能不清楚哟。）

第一小题注意初中学的“对边相等的四边形是平行四边形”这在立体图形中是不成立的。这算是非常容易踩踏的陷阱。

第二小题几何法是难题，因为面面角的平面角没有直接出现在图上。

所以第二小题需要反过来逆转一下思维，不要去做现成的平面角，而是去想如果平面角出现了，他能出现在哪里。

因此，作PH⊥A2B2C2D2，垂足为H，H在图中几何体的后方虚空之中，我们假装找到了那个点，连接B2H

由于D2B2⊥PB2,D2B2⊥PH，因此D2B2⊥PHB2，D2B2⊥HB2

这里情况就发生了质变，由于H和A2B2C2D2共面，在同一平面内A2C2⊥B2D2，因而A2C2‖B2H（在第（2）题开始时，请先写同理可知A2B2=C2D2，并且平行，而A2D2=A2B2，因此A2B2C2D2是菱形）

过H作HT⊥A2C2，垂足为T

至此，我们做出了你二面角的补角的平面角也即∠PTH=30

显然，HT=B2O，B2O会求吗？PH则用30度角的正切得到。

同时注意到构成∠A1A2O与∠PB2H的两条射线对应平行，这两个角相同。

请问A1A2C2的余弦你会求吗？（余弦定理）

那你把余弦转变成正弦会吗?（必定是正数！）

求出来正弦，PH你刚刚得到了，请问PB2求出来了吗？