Question

r(a)的秩为1，为什么？

Answer 1

原因：按照秩的性质有r(AB)<=min(r(A)，r(B))行向量和列向量本身秩都为1，所以r(AB)<=1。

1、m×n矩阵的秩最大为 m和n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足的。

2、矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。

扩展资料：

计算矩阵 A的秩的最容易的方式是高斯消去法。高斯算法生成的A的行梯阵形式有同 A一样的秩，它的秩就是非零行的数目。例如：4×4矩阵

1、第2纵列是第1纵列的两倍，而第4纵列等于第1和第3纵列的总和。第1和第3纵列是线性无关的，所以A的秩是2。这可以用高斯算法验证。它生成下列 A的行梯阵形式：它有两个非零的横行。

2、在应用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去可能是不稳定的，应当使用秩启示分解。一个有效的替代者是奇异值分解，但还有更少代价的选择，比如有支点的QR分解，比高斯消去在数值上更强壮。

参考资料来源：百度百科-秩

Answer 2

为了理解为什么矩阵 r(a) 的秩是 1，我们首先需要了解矩阵的秩以及秩的计算方式。
矩阵的秩指的是矩阵中线性独立的行（或列）的最大数量。换句话说，秩表示矩阵中非零行（或列）的最大数量，它也代表着矩阵的列空间或行空间的维数。
现在让我们来看一下矩阵 r(a) 的定义以及为什么它的秩是 1。
首先，我们需要明确 r(a) 是什么。在这里，r(a) 表示矩阵 a 的列向量的秩。换句话说，它是由矩阵 a 的列向量所构成的线性空间的维数。
假设矩阵 a 是一个 m × n 的矩阵，即它有 m 行和 n 列。那么 r(a) 的计算可以通过以下几个步骤完成：
1. 矩阵 a 的列向量：将矩阵 a 的每一列视为一个向量，记为 a1, a2, ..., an。
2. 向量的线性组合：我们可以将这些列向量进行线性组合，形成一个新的向量 b = c1a1 + c2a2 + ... + cnan，其中 c1, c2, ..., cn 是常数。
3. 寻找列向量的线性独立性：找到 c1, c2, ..., cn 使得只有一组解，即所有常数都为零时 b = 0。
现在来看看为什么矩阵 r(a) 的秩是 1。假设我们找到这样的 c1, c2, ..., cn ，它们使得只有一组解，即所有常数都为零时 b = 0。这意味着 b 是一个零向量。
对于任意向量 b，我们可以找到常数 c1, c2, ..., cn 使得 b = c1a1 + c2a2 + ... + cnan = 0。这意味着矩阵 a 的所有列向量都可以通过线性组合得到零向量。
然而，这意味着矩阵 a 的所有列向量都是线性相关的，即它们可以通过线性组合得到零向量。当所有列向量都能表示为其他列向量的线性组合时，线性空间的维数就是 1。
因此，矩阵 r(a) 的秩是 1，表示由矩阵 a 的列向量所构成的线性空间的维数为 1。
简而言之，矩阵 r(a) 的秩为 1 是因为矩阵 a 的所有列向量是线性相关的，它们可以通过线性组合得到零向量。这样的情况下，线性空间的维数为 1。

Answer 3

如果矩阵a的秩为1，那么这意味着矩阵a的所有行或所有列都是线性相关的，可以通过线性组合得到。 矩阵a的秩定义为线性无关行向量或列向量的最大数量。

考虑矩阵a的一个行向量或列向量。由于矩阵a的秩为1，至少有一个非零元素。不失一般性，我们假设这个非零元素是矩阵的第一个元素。

对于行向量的情况，我们可以将矩阵a的其他行向量表示为第一个行向量的线性组合。因此，可以写为a的任意行向量是第一个行向量的常数倍。

对于列向量的情况，我们可以将矩阵a的其他列向量表示为第一个列向量的线性组合。因此，可以写为矩阵a的任意列向量是第一个列向量的常数倍。

综上所述，矩阵a的秩为1，意味着矩阵a的所有行向量或所有列向量都是第一个行（列）向量的常数倍，说明矩阵a的所有行向量或所有列向量是线性相关的。