Question

如何求反函数的导数

Answer 1

设arcsinx＝α∈［－π／2，π／2]，则sinα＝x，

cosx=√（1 - x²）

sin2arcsinx=sin2α＝2sinαcosα＝2x√（1 - x²）

sinNarcsinx没有公式，需要一步一步求cosarcsinx＝cosα＝√（1 - x²）

反函数与原函数的关系：

1、反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。

2、互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。

3、原函数若是奇函数，则其反函数为奇函数。

4、若函数是单调函数，则一定有反函数，且反函数的单调性与原函数的一致。

5、原函数与反函数的图像若有交点，则交点一定在直线y=x上或关于直线y=x对称出现。

Answer 2

设函数f(x)在区间I上具有反函数g(x)，那么f(x)在I上有定义且存在且连续可导，反函数g(x)也存在并具有可导的导数，即：

g'(x) = 1/f'(g(x))

其中，g'(x)表示反函数g(x)在点x处的导数，f'(g(x))表示函数f(x)在g(x)处的导数。

例如：

假设有函数f(x) = 2x + 1，求其反函数的导数。

首先，求出函数f(x)在定义域上的导数为f'(x) = 2。

然后，因为f(x)在其定义域上是单调递增的，所以它具有反函数g(x) = (x - 1) / 2。

接下来，根据上述公式，将f'(g(x))代入公式中得：

g'(x) = 1 / f'(g(x)) = 1 / f'( (x - 1) / 2 ) = 1 / 2

所以，反函数g(x)的导数为1/2。