Question

如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=3,点E为BC边上的动点（E与B,C,不重合），设BE为X。

在射线BC上去一点F，是的EF=BE,以点F为直角顶点，EF为等腰RT△EFG，G与AD在BC同侧。设△EFG与矩形ABCD重叠的面积为S.则S与X的函数关系是S=0.5X^2.
问：S是否有最大值？若有，请证明，若没有，说明为什么？

Answer 1

解：由题意可知，0<x<3。
当0<x<=1时，三角形EFG与矩形ABCD重叠部分是一个等腰直角三角形，
其面积S的最大值是X=1时，S=1/2*1*1=1/2。
当1<x<=3/2时，三角形EFG与矩形ABCD重叠部分是一个直角梯形，
其面积S的最大值是X=3/2时，S=1/2*（1/2+3/2）*1=1。
当3/2<=x<2时，三角形EFG与矩形ABCD重叠部分也是一个直角梯形，
其面积S的最大值是X=3/2时，S=1/2*（1/2+3/2）*1=1。
当2<=x<3时，三角形EFG与矩形ABCD重叠部分是一个等腰直角三角形，
其面积S的最大值是X=2时，S=1/2*1*1=1/2.
由上分析可知，S有最大值。当x=3/2时，最大值S=1。