Question

如何证明韦达定理？

Answer 1

韦达定理推导过程：设方程ax^2+bx+c=0的两根分别为x=m和x=n，这就说明，ax^2+bx+c可以分解因式成a(x-m)(x-n)的形式，即ax^2+bx+c=a(x-m)(x-n)=ax^2-a(m+n)x+amn。比较两边系数，可知，-a(m+n)=b，amn=c；故m+n=-b/a，mn=c/a。

韦达定理：一元二次方程两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。韦达定理常被用于，不求方程的根，而计算或推理出与方程的根密切相关的对称式求值中。

已知a，b是方程x^2+1=7x，求(a^3-b^3)(a-b)。

解：由已知条件，利用韦达定理可知，a+b=7，ab=1，那么，(a^3-b^3)(a-b)=(a-b)^2*(a^2+ab+b^2)=[(a+b)^2-4ab][(a+b)^2-ab]=(7^2-4)(7^2-1)=45*48=2160。