Question

cscx= ln| cscx+ cotx|怎么求积分？

Answer 1

对于∫cscxdx的求解，有三种不同的方法：
第一种方法是使用三角代换，将cscx转化为sinx和cosx的比值形式，然后将sinx用cosx表示，从而将∫cscxdx转化为∫(cosx/sinx)dx，再使用u = sinx代换，得到∫(cosx/sinx)dx = -ln|cscx + cotx| + C。
第二种方法是使用分部积分法，将cscx拆分为1/sinx和cosx，并对∫(1/sinx)dx进行求解，使用u = sinx代换，得到∫(1/sinx)dx = ln|tan(x/2)| + C，然后将cosx带入∫cosxdx = sinx + C中，得到∫cscxdx = -ln|cscx + cotx| + C。
第三种方法是使用欧拉公式，将cscx转化为(e^(ix) + e^(-ix))/(2i sinx)，然后对分子分母分别进行积分，得到∫(e^(ix))/(2i sinx)dx + ∫(e^(-ix))/(2i sinx)dx = ∫(1/i)(e^(ix))/(e^(ix) - e^(-ix))dx + ∫(1/i)(e^(-ix))/(e^(ix) - e^(-ix))dx，再将分母化为2isin(x/2)e^(-ix/2)e^(ix/2)，并使用u = e^(ix/2)代换，得到∫(1/i)(e^(ix))/(e^(ix) - e^(-ix))dx = ln|tan(x/2)| + C，以及∫(1/i)(e^(-ix))/(e^(ix) - e^(-ix))dx = -ln|tan(x/2)| + C，将两个积分合并得到∫cscxdx = ln|sinx| + C。
这三种方法可以灵活运用，适用于不同情况下的求解∫cscxdx的问题。