Question

一道数学题！！今天晚上就要！！拜托！~~

在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交与点I，过点I作BC的平行线交AB,AC于点D,E，求证：以D为圆心，DB为半径的圆心D与点E为圆心，EC为半径的圆心E外切（没有图，弹但要稍微详细点的过程，不要太简略，谢谢）

Answer 1

DE平行与BC，所以∠DIB=∠IBC，又因为BI是∠ABC的角平分线，所以∠DBI=∠IBC,
所以∠DBI=∠DIB，所以，△DBI是个等腰三角形，DB=DI。
同理可证△EIC是等腰三角形，EC=EI
DE=DI+EI=DB+EC
所以圆D和圆E相切于I点。

Answer 2

两圆相切，那么两圆心距等于半径之和。
依题意，DE‖BC，BI、CI分别是角平分线，可以推出∠ABI＝∠DIB，∠ACI＝∠EIC，所以DB＝DI，EI＝EC，所以圆心距DE等于两圆半径DB、EC之和。所以两圆相切。

Answer 3

证明：

∠ABC与∠ACB的平分线相交与点I
则∠DBI=∠IBC 【1】
DI‖BD
则∠IBC=∠DIB 【2】
由【1】【2】得，∠DBI=∠DIB
所以，DBI为等腰三角形，DI=DB
同理，EI=EC

圆D与圆E的半径相加
DB+EC=DI+EI=DE
所以两圆外切，且相切于I点。

证毕。

Answer 4

DE平行BC 角DBI=角DIB DB=DI，同理IE=EC 则DE=DB+EC 所以外切