Question

设A、B是椭圆x^2/4+y^2=1上的两点，O为坐标原点 若直线AB在y轴上的截距为4，且OA,OB斜率之和等于2

求AB斜率

Answer 1

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB：y=kx+4
则y1=kx1+4，y2=kx2+4
∵OA,OB斜率之和等于2
∴y1/x1 + y2/x2=2
即[(kx1+4)/x1] +[(kx2+4)/x2] =2
即k + (4/x1) + k + (4/x2)=2
2k+(4/x1 + 4/x2)=2
2k + [4(x1+x2)/x1x2]=2
k+[2(x1+x2)/x1x2]=1
联立椭圆直线得
x²/4 + y²=1
y=kx+4
(1+4k²)x²+32kx+60=0
x1+x2= -32k/(1+4k²) ，x1x2=60/(1+4k²)，(x1+x2)/x1x2= -8k/15
k+[2(x1+x2)/x1x2]=1
k-16k/15=1
k=-15

Answer 2

解：
直线AB在y轴上的截距为4
所以AB方程为y=kx+4
设A(a,ka+4) B(b,kb+4)
将y=kx+4代入x²/4+y²=1得
x²/4+(kx+4)²=1
x²+4(kx+4)²=4
(4k²+1)x²+32kx+60=0
根据一元二次方程解的性质得
a+b=-32k/(4k²+1)
ab=60(4k²+1)

OA斜率为(ka+4)/a=k+4/a
OB斜率为(kb+4)/b=k+4/b
k+4/a+k+4/b=2
2k+4(a+b)/ab=2
2k+4[-32k/(4k²+1)]/[60/(4k²+1)]=2
2k+4(-32k/60)=2
2k-32k/15=2
-2k/15=2
k=-15
所以AB斜率为-15