Question

求一题初三数学题

见图,弦AB=CD,直线AB、CD相交于点P。求证：PA=PC（用两种证法）
尽量快点,等着写作业

Answer 1

如图作辅助线

第一种：设圆心为O，连接OA、OB、OC、OD，证明三角形OAB和OCD全等（OA=OB=OC=OD=r，AB=CD，边边边)，证出角OAP=OCP，然后证明三角形OAP和OCP全等（角OAP=OCP，角APO=CPO，OP=OP），然后AP=CP

第二种：因为弦AB=CD，则弦所对应的圆心角ACB=DAC，又因为AB=CD，AC=AC，则可证明三角形ADC全等于ABC，因此角BAC=DCA，在三角形PAC中，两个底角相等，则为等腰三角形，因此PA=PC

Answer 2

证明（1）：
取圆心O，连接OA,OB,OC,OD,OP
取AB中点E，CD中点F连接OE,OF。等腰三角形的中线与高重合。
∵OA=OC, AB=CD, OB=OD ∴△OAB≌△OCD, ∠OAB=∠OCD, OE=OF
则OP平分∠APC
即∠APO=∠CPO
又因为∠OAB=∠OCD，OP=OP
所以，△APO≌△CPO
所以，PA=PC
证毕。

证明（2）：
连接AC,AD,BC,BD
弦长相等，则弧长相等，对应的圆周角相等。
∠CAD=∠ACB
∠BAD=∠BCD
两边相加
∠CAD+∠BAD=∠ACB+∠BCD
即∠BAC=∠ACD
则PAC为等腰三角形
所以PA=PC
证毕。