Question

若圆（x-1）^2+(y+1）^2=R^2上有且只有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，求半径R的取值范围。

Answer 1

有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1
4x+3y=11 整理的 4x+3y-11=0
则过着两个点的直线与 改线平行 则直线方程为 4x+3y+c=0
两条直线距离为 |c+11|=5 则有 c=-6,-16
方程为 4x+3y-6 =0 4x+3y-16 =0
方程与圆有且只有两个交点
两个方程 分别与圆有两个交点
分别代入 的二次方程的判别式 都大于0
则分别有 R>1 R>3
且只有两个点
则只能满足一个 即 R在（1,3）之间

Answer 2

也就是说园半径，要大于点（1，-1）与直线4x+12y=29的距离，且要小于点（1，-1）与直线4x+3y=59的距离。
现在点到这两条直线的距离分别是2.9251和5.296815。故答案为R大于2.9251且小于5.296815。

另外，直线4x+12y=29和直线4x+12y=59 到4x+3y=11的距离为1。