数学高手进，求几道数学题！
2.求证：（tanx)^sinx+(cotx)^cosx>2,0<x<2π 其实是大于等于2，输不进来
4.双曲线T1:y=-x^2+b1x+c1, T2:y=-x^2+b2x+c2, 抛物线y=ax^2+bx=c与T1,T2分别相切于A,B，求证：直线AB平行于T1,T2的公切线。 展开
1. 每组中的有三个数的算术平均数恰为另一个数，设这个数为x。则另外三个数的和必为3x。从而每组中4个数的和为4x，即是4的倍数。故所有数的和应为4的倍数。注意到
1 + 2 + 3 + ... + 4n = 4n(4n+1)/2=2n(2n+1)
而2n+1为奇数，所以要想使所有数的和为4的倍数，n必须为偶数。事实上，只要n为偶数，那么必然存在符合条件的分组方式。对于任意整数k>=0 , 我们可以把连续的八个数
8k+1, 8k+2,8k+3,8k+4,8k+5,8k+6,8k+7,8k+8
分为两组
8k+2,8k+3,8k+4,8k+7
8k+1,8k+5,8k+6,8k+8
可以看到，8k+4 = [(8k+2) + (8k+3) + (8k+7)]/3
8k+5 = [(8k+1) + (8k+6) + (8k+8)]/3。
因此，对于任意的偶数n = 2m，可以先把所有的数分成m组，每组为8个连续的正整数，然后每组数按照上述方法再分成两组，使得每组中都有一个数是另三个数的算术平均数。因此n的取值为所有正偶数。
2. 此题x的取值范围似乎不对，感觉应为0<x<π/2，不然的话要算负数的实数次幂，貌似不是初等数学的内容。
下面假设0<=x<=π/2，因此tanx, cotx, sinx, cosx都为非负实数
(tanx)^sinx+(cotx)^cosx
>= 2 ((tanx)^sinx (cotx)^cosx)^(1/2)
只需证明(tanx)^sinx (cotx)^cosx >=1。
(tanx)^sinx (cotx)^cosx
= tanx^(sinx - cosx)
当0<=x<=π/4时，tanx >=1，sinx - cosx >=0，显然tanx^(sinx - cosx) >=1。
当π/4<=x<=π/2时，tanx <=1，sinx - cosx <=0，仍然有tanx^(sinx - cosx) >=1。
因此(tanx)^sinx (cotx)^cosx >=1，0<=x<=π/2。
3. 设N为AB与圆的切点。根据弦切角定理容易知道∠BNL = ∠ BKN。从而∠BLN = 180 - ∠BNL - ∠NBK = 180 - ∠ BKN - ∠NBK = ∠BNK。由于BCKN亦为等腰梯形，∠BNK = ∠NKC。由上两式可得，∠BLN=∠NKC。故∠NLK = 180 - ∠BLN = 180 - ∠NKC = ∠BCD。易知NK‖BC，∠NKB = ∠KBC。我们有△NLK∽△BCK。因此
KL / NL = BC/CK = 2 (易知BC=2CK)。
同样由于∠BNL = ∠ BKN，∠NBL = ∠ NBL，△NBL∽△BNK。从而
NL/BL = NK/BN。
由于KL =2 NL，有KL/BL = 2NK/BN。
同理可证，MK/AM = 2NK/AN。因此
AK/AM + BK/BL = (MK+AM)/AM + (LK+BL)/BL
=MK/AM+KL/BL +2
=2(NK/AN+NK/BN)+2。
接下来计算NK/AN+NK/BN。延长BA，CD交与点P。设PA = w，AN = x，BN = y， NK = z。易知
PA/PB = AD/BC，w/(w+x+y) = 2x/2y，可知
w+x+y = yw/x。
同样易知
NK/AD = PN/PA，NK/BC = PB/PN。因此
z/x = 2 NK/AD = 2 PN/PA =2 (w+x)/w =2 (1+ x/w)。
z/y = 2 NK/BC = 2 PB/PN = 2 (w+x)/(w+x+y) =2 (1- y/(w+x+y)) = 2 (1- y/(yw/x)) = 2 (1- x/w)。
可知
NK/AN+NK/BN = z/x + z/y = 2 (1+ x/w) + 2 (1- x/w) = 4。
最终
AK/AM + BK/BL = =2(NK/AN+NK/BN)+2 = 10。
4. 第四题所给的几条曲线似乎都是抛物线。先求公切线的斜率：设公切线方程为y = kx + l，则
-x^2 +(b1-k)x + c1-l = 0
-x^2 +(b2-k)x + c2-l = 0
都只有一个根，因此
Δ1 = (b1-k)^2+4(c1-l)=0
Δ2 = (b2-k)^2+4(c2-l)=0
解之得 k = (b1+b2)/2 + 2(c1-c2)/(b1-b2)。
接下来计算抛物线与T1、T2的交点。
ax^2+bx+c=-x^2+b1x+c1
ax^2+bx+c=-x^2+b2x+c2
要是两曲线相切，上两式的判别式为零
(b-b1)^2 -4(a+1)(c-c1)=0 ... (1)
(b-b2)^2 -4(a+1)(c-c2)=0 ... (2)
可解得两切点AB横坐标为
x1=(b1-b)/(2a+a), x2=(b2-b)/(2a+a).
AB的斜率为
k'=(y1-y2)/(x1-x2) = [a(x1^2 - x2^2)+b(x1-x2)]/(x1-x2) = a(x1+x2)+b.
(1)-(2)可得
a+1=-4[(b-b1)^2-(b-b2)^2]/(c1-c2)
a=-4[(b-b1)^2-(b-b2)^2 -4(c1-c2)]/(c1-c2)
因此
k' = [(b-b1)^2-(b-b2)^2 - 4(c1-c2)]/(c1-c2) * 2{ (c1-c2) (b1-b) / [(b-b1)^2-(b-b2)^2] + (c1-c2) (b2-b) / [(b-b1)^2
-(b-b2)^2]} + b
= [(b-b1)^2-(b-b2)^2 - 4(c1-c2)] * [ (b1-b) +(b2-b) ] / 2[(b-b1)^2-(b-b2)^2] + b
= (b1+b2 - 2b)/2 - 4(c1-c2) * [ (b1-b) +(b2-b) ] / 2[(b-b1)^2-(b-b2)^2] + b
= (b1+b2)/2 - 2(c1-c2)/[(b-b1)-(b-b2)]
= (b1+b2)/2 + 2(c1-c2)/(b1 - b2)
可见k = k'，两直线平行。
