Question

两道不等式的题目。急等着解答！各位高人请赐教！

（1）如果一个正整数正好等于它的数字之和的13倍，试求出所有这样的正整数。
（2）如果一个正整数正好等于它的数字之和的12倍，试求出所有这样的正整数。
麻烦写一下过程，OK？

Answer 1

（1）如果一个正整数正好等于它的数字之和的13倍，试求出所有这样的正整数。
这个正整数不能是一位数！至少是两位数、或三位数、或四位数、...，
1、设这个正整数是 10a+b，10a+b=13(a+b),3a+12b=0,a+4b=0,a=-4b,因为a,b都是一位整数，显然无解；
2、设这个正整数是 100a+10b+c，100a+10b+c=13(a+b+c),87a=3b+12c,29a=b+4c,因为abc是一位整数，29a=b+4c：令 a=1,b=0,c=29/4,是非整数，不是其解，舍弃；令 a=1,b=1,c=7,该数是117；令 a=1,b=5,c=6，该数是156；令 a=1,b=9,c=5,该数是195；其它数将会超出abc是一位数的范围。
3、设这个正整数是 1000a+100b+10c+d，1000a+100b+10c+d=13(a+b+c+d),987a+87b=2c+12d,因为abc是一位整数，987a+87b=2c+12d：令 a=1(a不能为0),cb为任何一位数2c+12d都是偶数，不可能等于987，故无解；令a=2,b=...,d=...c=...,如此这般地一个个去试解，求得结果，希望你理解了自己去解。
4、再推广到4位数...
（2）如果一个正整数正好等于它的数字之和的12倍，试求出所有这样的正整数。
这个正整数不能是一位数！至少是两位数、或三位数、或四位数、...，
1、设这个正整数是 10a+b，10a+b=12(a+b),2a+11b=0,a=-11b/2,因为a,b都是一位整数，显然无解；
2、设这个正整数是 100a+10b+c，100a+10b+c=12(a+b+c),88a=2b+11c,因为abc是一位整数，88a=2b+11c：令 a=1,b=0,c=8,该数是108；令 a=1,b=11,c=6，但b=11超出b是一位数的范畴，不是其解，舍弃；其它数将会超出abc是一位数的范围。
3、设这个正整数是 1000a+100b+10c+d，1000a+100b+10c+d=12(a+b+c+d),988a+88b=2c+11d,因为abc是一位整数，988a+88b=2c+11d：令 a=...(a不能为0),.........；令a=2,b=...,d=...c=...,如此这般地一个个去试解，求得结果，希望你理解了自己去解。
4、再推广到4位数...

Answer 2

解：（1）符合条件的数有：117、156、195
（2）符合条件的数有：108。