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两个题都是考察第二重要极限
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lim_(x->0) (1 + sin(x))^(1/x) = e
lim_(x->∞) ((x + 2)/(x - 1))^x = e^3
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(1)
lim(x->0) (1+sinx)^(1/x)
sinx 等价于x
=lim(x->0) (1+x)^(1/x)
=e
(2)
(x+2)/(x-1)
=1 + 3/(x-1)
let
3/(x-1) = 1/y
lim(x->∞) [(x+2)/(x-1)]^x
=lim(x->∞) [1 + 3/(x-1)]^x
=lim(y->∞) (1 + 1/y)^(3y+1)
=lim(y->∞) (1 + 1/y)^(3y)
=e^3
lim(x->0) (1+sinx)^(1/x)
sinx 等价于x
=lim(x->0) (1+x)^(1/x)
=e
(2)
(x+2)/(x-1)
=1 + 3/(x-1)
let
3/(x-1) = 1/y
lim(x->∞) [(x+2)/(x-1)]^x
=lim(x->∞) [1 + 3/(x-1)]^x
=lim(y->∞) (1 + 1/y)^(3y+1)
=lim(y->∞) (1 + 1/y)^(3y)
=e^3
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