Question

求一条已知椭圆的切线的方程

Answer 1

设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,点P(x0,y0)在椭圆上,
则过点P的椭圆的切线方程为(x·x0)/a^2 + (y·y0)/b^2=1

在实际应用中，只需将对应的x0,y0代入即可得到椭圆在某一个具体点的切线方程。

扩展资料

利用解析几何的方法求椭圆的切线方程的步骤为：

设C：（（x^2）/（a^2））+（（y^2）/（b^2））=1-----式1；

（a^2）-（b^2）=（c^2）；

F1（-c，0）；F2（c，0）；P（xp，yp）

AB：（y-yp）=k（x-xp）=>y=kx+（yp-kxp）；令m=yp-kxp=>AB：y=kx+m-----式2；

联立式1和式2消去y得：（（k^2）+（（b^2）/（a^2）））（x^2）+2kmx+（（m^2）-（b^2））=0；

因为直线AB切椭圆C于点P，所以上式只有唯一解，则：

4（（km）^2）-4（（k^2）+（（b^2）/（a^2）））（（m^2）-（b^2））=0=>m^2=（（ak）^2）+（b^2）；

m^2=（yp-kxp）^2=（（yp）^2）+（（kxp）^2）-2kxpyp=（（ak）^2）+（b^2）；

=>（（a^2）-（xp^2））（k^2）+2xpypk+（（b^2）-（yp^2））；

由根的判别式得：4（（xpyp）^2）-4（（a^2）-（xp^2））（（b^2）-（yp^2））=0；

所以k值有唯一解：k=（-2xpyp）/（2（（a^2）-（xp^2）））=-xpyp/（（a^2）-（xp^2））；

由式1得：（a^2）-（xp^2）=（ayp/b）^2=>k=-（xp（b^2））/（yp（a^2））；

m=yp-kxp=（（（ypa）^2）+（（xpb）^2））/（yp（a^2））=（（ab）^2）/（yp（a^2））=（b^2）/yp；

设A0F1、B0F2分别过F1、F2垂直AB于A0、B0；

A0F1：（y-0）=（-1/k）（x+c）=>x+ky+c=0-----式3；

联立式2和式3消去y得：x=-（km+c）/（（k^2）+1）；

联立式2和式3消去x得：y= （m-kc）/（（k^2）+1）；

则：A0：（-（km+c）/（（k^2）+1），（m-kc）/（（k^2）+1））

参考资料百度百科-椭圆