Question

恒等变形题（35）

例1：若 X^2－8x＋13＝0，求 ：（X^4－6X^3－2X^2＋18X＋23）／（X^2－8X＋15）的值。 例2： 若 X^2－3X＋1＝0，求：（2X^5－5X^4＋2X^3－8X^2）／（X^2＋1）的值。【这两题我化不出，请指教给与详细过程。】劳驾！

Answer 1

例1：解：分子=x^2(X^2－8x＋13)+2x(X^2－8x＋13)+(X^2－8x＋13)+10=10
分母=（X^2－8x＋13）+2=2
故原式=5.
例2：解：显然，x≠0（若x=0,代入原方程显然不成立。）
故将原方程两边同时除以x，得：x+1/x=3.
分子=x(2x^4-5x^3+2x^2-8x)=x[(2x^4+2x^2)-（5x^3+5x)-3x]
=x([2x^3(x+1/x)-5x^2(x+1/x)-3x]=x(6x^3-15x^2-3x)
=x[(6x^3+6x)-15x^2-9x]=x[6x^2(x+1/x)-15x^2-9x]
=x(3x^2-9x)=3x(x^2-3x)=3x[(x^2-3x+1)-1]=-3x.
分母=x(x+1/x)=3x.
故原式=-1.

Answer 2

(1)分子X^4－6X^3－2X^2＋18X＋23 同时加减2x^2
=X^4－8X^3+2x^3－2X^2＋18X＋23 前两项提取x^2
=x^2(x^2-8x)+2x^3－2X^2＋18X＋23 注意到括号里的值就是-13
=2x^3-15x^2＋18X＋23 同时加减x^2
=2x^3-16x^2＋x^2+18X＋23 前两项提取2x
=2x(x^2-8x) ＋x^2+18X＋23 注意到括号里的值就是-13
=x^2-8x+23
=10
分母=X^2－8X＋15=2
所以它的值是10/2=5
(2)分子2X^5－5X^4＋2X^3－8X^2 同时加减X^4
=2X^5－6X^4＋X^4+2X^3－8X^2 前两项提取2X^3
=2x^3(x^2-3x)＋X^4+2X^3－8X^2 括号里的值是-1
=x^4-8x^2 注意到x^2就是3x-1带入化简
=9x^2-30x-9 注意到x^2就是3x-1带入化简
=-3x
分母=3x
所以它的值就是-1