Question

如图,在边长为1的正三角形ABC中,E,F分别是边AB,AC上的点,且AE=mAB,AF=nAC(向量我打不出）.....

如图,在边长为1的正三角形ABC中,E,F分别是边AB,AC上的点,且AE=mAB,AF=nAC(向量我打不出），其中m,n都是大于0小于1 ， 设E,F的中点为M，BC的中点为N
[1]若A,M,N三点共线，求证m=n
（2）若m+n=1，求|mn|的最小值

Answer 1

(1)因为AMN三点共线
所以存在唯一实数λ使AM=λAN
AE+0.5EF=λ（AB+0.5BC）
mAB+0.5(nAC-mAB)=0.5λ(AB+AC)
0.5m=0.5λ=0.5n
m=n

Answer 2

第二题的解答过程：
向量MN=向量MA+向量AN=-0.5(m向量AB+n向量AC)+0.5(向量AB+向量AC)=0.5[(1-m)向量AB+(1-n)向量AC],
而m+n=1，则向量MN=0.5[(1-m)向量AB+m向量AC],
所以|向量MN|^2=0.25[(1-m)^2+m^2+m(1-m)]
=0.25*(m^2-m+1)
=0.25*(m-0.5)^2+0.25*0.75
即当m=0.5时，向量MN的绝对值的最小值为(根号3/4)

Answer 3

(1)若A,M,N三点共线,则三角形AEF中EM=FM,有AM为公共边，且角EAM=角FAM，则两三角形相似，即EF平行BC，结果得出。