Question

已知函数f(x)=log3[(mx^2+8x+n)/(x^2+1)]的定义域为R，值域为〔0，2〕，求m,n的值

谢谢帮忙

Answer 1

因为f(x）的值域为〔0，2〕，
所以1<(mx^2+8x+n)/(x^2+1)<9
定义F(x)=(mx^2+8x+n)/(x^2+1)
则F'(x)=[(mx^2+8x+n)'(x^2+1)-(mx^2+8x+n)(x^2+1)']/(x^2+1)^2
=[(2mx+8)(x^2+1)-2x(mx^2+8x+n)]/(x^2+1)^2
=(2mx^3+8x^2+2mx+8-2mx^3-16x^2-2nx)/(x^2+1)^2
=2[(-4)x^2+(m-n)x+4]/(x^2+1)^2
当F'(x)>=0时4x^2-(m-n)x-4<=0
当F'(x)<=0时4x^2-(m-n)x-4>=0
所以F(x)在[m-n-√(m-n)^2-64]/8<=x<=[m-n+√(m-n)^2-64]/8上递增
在x<=[m-n-√(m-n)^2-64]/8或x>=[m-n+√(m-n)^2-64]/8上递减

由于F(x)在x→∞时是∞/∞
所以用洛彼达法则：
lim x→∞(mx^2+8x+n)/(x^2+1)=lim x→∞(mx^2+8x+n)'/(x^2+1)'=lim x→∞(2mx+8)/2x=m
所以F(x)的最大最小值为两个极值点：
极小值点x=[m-n-√(m-n)^2-64]/8
极大值点x=[m-n+√(m-n)^2-64]/8
设（m-n）=a
则F(a-√a^2-64/8)=1
F(a+√a^2-64/8)=9
最后两个太烦，自己解