f(x)在(a,b)内连续且可导,f(a)=f(b)=0. 求证：在a,b之间存在一点m,使得f'(m)=-f(m).
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构造函数g(x)=(e^x)*f(x)
于是g(a)=(e^a)*f(a)=0
g(b)=(e^b)*f(b)=0
所以g(a)=g(b)
对于g(x)用罗尔定理,存在m∈(a,b),使得
g'(m)=0
又g'(x)=(e^x)*(f(x)+f'(x))
所以存在m∈(a,b),使得
(e^m)*(f(m)+f'(m))=0
而e^m>0
所以f(m)+f'(m)=0
即存在m∈(a,b),使得f'(m)=-f(m).
于是g(a)=(e^a)*f(a)=0
g(b)=(e^b)*f(b)=0
所以g(a)=g(b)
对于g(x)用罗尔定理,存在m∈(a,b),使得
g'(m)=0
又g'(x)=(e^x)*(f(x)+f'(x))
所以存在m∈(a,b),使得
(e^m)*(f(m)+f'(m))=0
而e^m>0
所以f(m)+f'(m)=0
即存在m∈(a,b),使得f'(m)=-f(m).
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