Question

二元函数的极限和连续

若y=x^2,x趋于0，f(x,y)=A,则当x趋于0，y趋于0是f(x,y)=A是否一定成立？为什么？
求详解

Answer 1

解：不一定。根据二元函数极限的定义知，是以任意方式趋于某个点时极限存在，则二元函数的极限存在，
若y=x^2,x趋于0，f(x,y)=A，它是以y=x^2的路径趋于（0,0）时，极限为A。但不能说明任意方式趋于（0,0）时，极限为A。

谢谢！

Answer 2

不一定，例f(x,y)=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)
若y=x^2,x趋于0时：lim(x^2-x^4)/(x^2+x^4)=lim(1-x^2)/(1+x^2)=1
而若y=kx,x趋于0时：lim[x^2-(kx)^2]/[x^2+(kx)*2]=(1-k^2)/(1+k^2)
k不同，上式的极限不同，故当x趋于0，y趋于0时f(x,y)的极限不存在

Answer 3

f(x,y)=A？,是常数函数了
当然趋于A。。。