Question

已知函数f(x)=lim(n趋近于无穷)（x^(2n-1)+ax^2+bx)/(x^2n+1)为连续函数,求a,b的取值

Answer 1

f(x)=lim(n趋近于无穷)（x^(2n-1)+ax^2+bx)/(x^2n+1)
当|x|1时,f(x)的分子分母同时除以x^2n
f(x)=lim(n趋近于无穷)[1/x+a/x^(2n-2)+b/x^(2n-1)]/[1+1/x^2n]
1/x^（2n-2）、1/x^（2n-1）、1/x^2n趋近于0,此时f(x)=1/x
因此,需考虑-1和1这两个点是否连续,即：
当x负向趋于-1时,1/x=-1；
当x正向趋于-1时,ax^2+bx=a-b
所以,a-b=(a-b-1)/2=-1,即a-b=-1
同理,考虑趋于1的情况可得：a+b=(a+b+1)/2=1^-1=1,即a+b=1,
因此,a=0,b=1.