Question

求一道线性代数题目的解答

已知二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+(a+4)x2^2+3x3^2+4x1x2-4x2x3经正交变换x=Qy化为标准型by1^2+5y2^2-y3^2求a,b及所用的正交变换.

Answer 1

先将对应的二次型的矩阵写出来，分别是A=[1,2,0;2,a+4,-2,0,-2,3]和B=[b,0,0;0,5,0;0,0,-1],由于是经过正交变换得到的标准型，表明上述两个矩阵相似(求a,b值的思路就是利用相似的性质)。
1.两矩阵对角线上元素的和相等(相似的性质，这些东西是必须记住的)，这样就得到a+4=b----(1).
2.同时两矩阵的行列式值相等，即detA=detB，这样得到3a-4=-5b-------(2).
联立(1)、(2)式解得a=-2，b=2.
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****需要注意的是在得到第二个等式——(2)时比较正规的方法是将已知的一个特征值代入方程****
******|λE-A|=0，如本题中可以得到|-E-A|=0来得到a的值这样做更保险(原因就不赘述了- -)。*******
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3.至于求解所用的正交变换，得到b的值后就得到了矩阵的特征值分别为2，5，-1，然后根据
(λE-A)ξ=0，求得相应的特征向量ξ1，ξ2，ξ3，由于这3个向量属于不同的特征值故已经正交，下面只需将其单位化即可，则所求的正交变换为矩阵[ξ1/||ξ1||，ξ2/||ξ2||，ξ3/||ξ3||].其中||ξ||表示ξ的模。
大致思路就是这样，计算错误本人一概不负责任 >_< ....XD

Answer 2

因为λ是A的一个特征值，又A^T=-A，所以0=│λI-A│=│λI+A^T│=│(λI+A)^T│=│λI+A│=(-1)^n│（-λ）I-A│。因此-λ也是A的一个特征值。