Question

证明:|a-b|≤|a-c|+|b-c|(a,b,c均为向量）

Answer 1

|a-b|2=|(a-c)-(b-c)|2
=(a-c)2+(b-c)2+2x(a-c)(b-c)
=(a-c)2+(b-c)2+2x|a-c|x|b-c|xcosa
<=(a-c)2+(b-c)2+2x|a-c|xb-c|
=(|a-c|2+|b-c|2)2
所以|a-b|<=|a-c|+|b-c|
ps：那个2是平方。自己看看吧 也可以画个图，用三角形两边之和大于第三边，当abc平行时相等。

Answer 2

由向量的三角不等式 |x+y|<= |x|+|y|
令 x=a-c, y=c-b
得
|(a-c)+(c-b)|<=|a-c|+|c-b|
但 (a-c)+(c-b)=a-b, 且|c-b|=|b-c|, 所以
|a-b|<=|a-c|+|c-b|.