利用导数证明不等式有哪些常用方法
导数在证明不等式中的非常重要,有4种常用方法:
1、利用泰勒公式证明不等式。
2、利用中值定理证明不等式。
3、利用函数的性质证明不等式。
4、利用Jensen不等式证明不等式。
导数公式指的是基本初等函数的导数公式,导数运算法则主要包括四则运算法则、复合函数求导法则(又叫“链式法则”)。
一、什么是导数?
导数就是“平均变化率“△y/△x”,当△x→0时的极限值”。可导函数y=f(x)在点(a,b)处的导数值为f'(a)。
二、基本初等函数的导数公式
高中数学里基本初等函数的导数公式里涉及到的函数类型有:常函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数。它们的导数公式如下图所示:
三、导数加、减、乘、除四则运算法则
导数加、减、乘、除四则运算法则公式如下图所示:
1、加减法运算法则
2、乘除法运算法则
【注】分母g(x)≠0.
为了便于记忆,我们可以把导数的四则运算法则简化为如下图所示的、比较简洁的四则运算公式。
【注】分母v≠0.
四、复合函数求导公式(“链式法则”)
求一个基本初等函数的导数,只要代入“基本初等函数的导数公式”即可。对于基本初等函数之外的函数如“y=sin(2x)”的导数,则要用到复合函数求导法则(又称“链式法则”)。其内容如下。
(1)若一个函数y=f(g(x)),则它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系如下图所示。
(2)根据“复合函数求导公式”可知,“y对x的导数,等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”。
【例】求y=sin(2x)的导数。
解:y=sin(2x)可看成y=sinu与u=2x的复合函数。
因为(sinu)'=cosu,(2x)'=2,
所以,[sin(2x)]'=(sinu)'×(2x)'
=cosu×2=2cosu=2cos(2x)。
五、可导函数在一点处的导数值的物理意义和几何意义
(1)物理意义:可导函数在该点处的瞬时变化率。
(2)几何意义:可导函数在该点处的切线斜率值。
【注】一次函数“kx+b(k≠0)”的导数都等于斜率“k”,即(kx+b)'=k。
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