Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C（0，

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C（0，2√3）。（1）求此抛物线的解析式，，（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，做圆D与X轴相切，圆D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长，（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分。 希望写出中学生看得懂的过程 我不要答案。要过程！！

Answer 1

已知抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C（0，2√3）。（1）求此抛物线的解析式，，（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，做圆D与X轴相切，圆D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长，（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分。
解：C=2√3,
4a+2b+2√3=0
36a+6b+2√3=0
a=√3/6,b=-4√3/3,解析式：y=3/6x²-4√3/3x+2√3,
2)对称轴：x=-b/2a=4,y=2x,交点D的坐标为：（4,8），半径为：8，圆D的方程为：
（x-4)²+(y-8)²=64,x=0，与y轴交点为：（0，4√3），（0，,12√3），EF=8√3,
1/2EF=4√3,圆D的半径=8，sin1/2角EDF=√3/2,角EDF=120°，
劣弧EF的长=120°/360°*2π*8=16π/3.
3).抛物线方程：y=√3/6x²-4√3/3x+2√3，△PGA与y轴交于点M，直线AC与PG交于点N,PG垂直于x轴，则三角形ACM与三角形APN相似，先求出点M的坐标，再求点P的坐标，P,M在一条直线上。
S△ACM=S△AOM-S△AOC=1/2*4*OM/(1/2*4*2√3)=2/3,OM=4√3/3,点M的坐标为（0，4√3/3），直线AM：y=(√3/3)x+4√3/3,y=3/6x²-4√3/3x+2√3,解方程求交点P的坐标：
y=-(√3/3)x+4√3/3
y=√3/6x²-4√3/3x+2√3

Answer 2

（1）可以把三个点的坐标值带入，求解得到函数的解析式为：y=√3/6x²-4√3/3x+2√3；
（2）容易求的D点坐标（4，8），圆D的半径为8，圆D与y轴的交点E、F的坐标分别为（0，8+4√3）、（0，8-4√3），故线段EF的长度为8√3，由余弦定理可知角EDF为120°，所以劣弧EF的长为：L=2*3.14*8*(120/360)=16.75；
（3）直线AC的的方程易求解为：y=-√3x+2√3，假设直线AC与PG相交于点M，要考虑两种情况S△ACM：S△APG=1：3和S△ACM：S△APG=2：3，设点P（m，√3/6m²-4√3/3m+2√3），则M（m，-√3m+2√3），解方程组①-√3m+2√3=1/3(√3/6m²-4√3/3m+2√3)，②-√3m+2√3=2/3(√3/6m²-4√3/3m+2√3，解得①m=2，m=-12，②m=2，m=-3。由于P为抛物线在第二象限的点，所以m=2舍去，故m=-3或m=-12。
结论：P(-3，15√3/2),此时 S△ACM：S△APG=2：3；
P(-12，40√3),此时 S△ACM：S△APG=1：3。