Question

求证a,b,c为正实数的充要条件是a+b+c>0且ab+bc+ac>0和abc>0

Answer 1

先证明充分条件,a,b,c为正实数,a＞0,b＞0,c＞0,所以a+b+c>0.
ab＞0,正正还是为正,所以ab+bc+ac>0
abc>0,任意正数相乘结果为正.
在证明必要条件,有条件1、3可知a、b、c至少有一个为正,那么ab、bc、ac,至少有一个为正,假如ab为正,那么ab要么都正要么都负,假如为负那么c＞0,且c＞la+bl,只有这样第一个条件才能满足如此一来lbc+acl＞ab,那么第二个条件就必然不能满足.所以ab只能都为正,这样一来,为了保证条件3满足,C也必须为正,证毕.