Question

隐函数的二阶导数

Answer 1

隐函数是二元二次隐函数，举例说明x^2+4y^2=4.
对方程两边同时求导得到：
2x+8yy'=0
y'=-x/4y
对y'再次求导得到：
y''=-(4y-x*4y')/(4y)^2
=4(xy'-y)/16y^2
=(xy'-y)/4y^2
=[(-x^2/4y)-y)]/4y^2 (此步骤是代入y'的结果.）
=-(x^2+4y^2)/16y^3 （此步骤是代入方程x^2+4y^2=4.）
=-4/16y^3
=-1/4y^3
所以：d^2y/dx^2=-1/4y^3
二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）仍然是x的函数，则y’=f‘（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。在图形上，它主要表现函数的凹凸性。
如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。F(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。

扩展资料

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：
方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的`方法求导；
方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）
方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；
方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
举个例子，若欲求z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。