Question

函数F(X)=sin2x+sinx-cosx的值域为

求详解
请别用设sinx-cosx=t,且t的范围为[-1,根号2],
=>cosxsinx=(1-t^2)/2,
=>sin2x+sinx-cosx=-(t-1/2)^2+5/4
=>当t=1/2时,此函数可以取到最大值5/4
当t=-1时,此函数可以取到最小值=-1
所以此函数的值域为[-1,5/4]来回答 我看不懂

Answer 1

解：
F(X)=sin2x+sinx-cosx=2sinxcosx+sinx-cosx
∵(sinx-cosx)^2=sin^2x-2sinxcosx+cos^2x=1-2sinxcosx
∴2sinxcosx=1-(sinx-cosx)^2
F(X)=1-(sinx-cosx)^2+(sinx-cosx)
=-(sinx-cosx)^2+(sinx-cosx)+1
=-(sinx-cosx-1/2)^2+5/4
∴
当sinx-cosx＝1/2时，有最大值＝5/4
当sinx-cosx＝－1时，有最小值＝－9/4+5/4＝－1
∴此函数的值域为[－1,5/4]

Answer 2

设sinx-cosx=t,t=根号2sin(x-pi/4)，在正负根号2之间
t^2=1-2sinxcosx,2sinxcosx=1-t^2
y=2sinxcosx-t=1-t^2-t=-(t+0.5)^2+5/4
当t=-0.5时，最大为5/4
当t=根号2时，最小为：-1-根号2