Question

求点P（2,0,－1）关于直线 的对称点坐标

Answer 1

原像点：(a ,b ,c)
直线上某一点：(A ,B ,C)
直线方向向量：(p ,q ,r)
直线参数方程：(A ,B ,C) + k(p ,q ,r)
对称中心坐标满足：(A ,B ,C) + k(p ,q ,r) - (a ,b ,c) ⊥ (a ,b ,c)
即内积为零：(A - a + kp ,B - b + kq ,C - c + kr)·(a ,b ,c) = 0
展开：a(A - a + kp) + b(B - b + kq) + c(C - c + kr) = 0
解出：k = (aa + bb + cc - aA - bB - cC)/(ap + bq + cr)
对称点坐标(x ,y ,z)满足：
(a ,b ,c) + (x ,y ,z) = 2[(A ,B ,C) + k(p ,q ,r)]
所以对称点为：
(x ,y ,z) = 2[(A ,B ,C) + k(p ,q ,r)] - (a ,b ,c)
= (
-a + 2 (A + ((a^2 - a A + b^2 - b B + c (c - C)) p)/(a p + b q + c r)),
-b + 2 (B + ((a^2 - a A + b^2 - b B + c (c - C)) q)/(a p + b q + c r)),
-c + 2 (C + ((a^2 - a A + b^2 - b B + c (c - C)) r)/(a p + b q + c r))
)
如果 (a ,b ,c) = (2 ,0 ,-1) 那么,代入上述公式有：
(x ,y ,z) =
(-2 + 2 (A + ((5 - 2 A + C) p)/(2 p - r)),
2 (B + ((5 - 2 A + C) q)/(2 p - r)),
1 + 2 (C + ((5 - 2 A + C) r)/(2 p - r)))
完毕