Question

已知4*3矩阵A=[a1,a2,a3],其中a1,a2,a3均为四位列向量（线性代数）

Answer 1

由Ax=β的通解的形式知
(1,2,-1)^T 是 Ax=β 的解,故有 a1+2a2-a3=β
(1,-2,3)^T 是 Ax=0 的基础解系,故有 r(A)=3-1=2,a1-2a2+3a3=0
所以 a3 可由 a1,a2线性表示
故a1,a2线性无关
而β可由a1,a2,a3线性表示
所以 r(B)=2.
易知 (1,-1,0,0)^T 是 By=a1-a2 的特解.
因为 a1-2a2+3a3=0
所以 (1,-2,3,0)^T 是 By=0 的解.
再由 a1+2a2-a3=β 知 a1+2a2-(a3+β)=0
所以 (1,2,0,-1)^T 是 By=0 的解
因为 (1,-2,3,0)^T,(1,2,0,-1)^T 线性无关
故构成 By=0 的基础解系.
所以 By=a1-a2 的通解为 (1,-1,0,0)^T + c1(1,-2,3,0)^T + c2(1,2,0,-1)^T.