向量组α1,α2,...,αm的秩为r,证明α1,α2,...,αm-1的秩≥r-1？
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因为向量组a1,a2,...,am的秩为r
所以其中有且仅有r个向量线性无关
如果am是这r个向量之一
则向量组a1,a2,...,a(m-1)中有且仅有r-1个向量线性无关
则它的秩为r-1
如果am不是这r个向量之一
则向量组a1,a2,...,a(m-1)中仍旧有且仅有r个向量线性无关
则它的秩为r
综上所述,a1,a2,...,a(m-1)的秩>=r-1,10,假设α1,α2,...,αm-1的秩≤r-2
增加1个向量后秩最多多1
即
α1,α2,...,αm的秩≤r-2+1=r-1
和已知矛盾
所以
α1,α2,...,αm-1的秩≥r-1。,1,
所以其中有且仅有r个向量线性无关
如果am是这r个向量之一
则向量组a1,a2,...,a(m-1)中有且仅有r-1个向量线性无关
则它的秩为r-1
如果am不是这r个向量之一
则向量组a1,a2,...,a(m-1)中仍旧有且仅有r个向量线性无关
则它的秩为r
综上所述,a1,a2,...,a(m-1)的秩>=r-1,10,假设α1,α2,...,αm-1的秩≤r-2
增加1个向量后秩最多多1
即
α1,α2,...,αm的秩≤r-2+1=r-1
和已知矛盾
所以
α1,α2,...,αm-1的秩≥r-1。,1,
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