Question

问一道高中数学题，麻烦用高中知识解答，谢谢

题设：已知三角形ABC周长为6，角A，B，C所对边a,b,c成等比数列。
1.求B及b的最大值。
2.设ABC面积为S，求S+1/BA【向量】·BC【向量】的最大值。

第一问没问题，结果是B最大为60度，b最大为2，a=c时取等号。
第二问答案提要：
S=0.5 b2 SINB。由1知B为60度，b为2时取最大，此时S最大为根号3.

1/BA【向量】·BC【向量】=ac COS B=—{b+3}+27
当b=2时 有最小为2，即1/BA【向量】·BC【向量】有最大为0.5.
那么两部分都在b=2时取了最大值。即S+1/BA【向量】·BC【向量】有最大值。

以上是标准答案。

我第二问不会，答案上的方法感觉怎么想也想不出来，好像是巧了一样，分两部分讨论，恰好b取同一值时俩个部分都最大。有没有更有说服力更标准的方法？

Answer 1

把关系式都列出来就解决了
S=0.5b^2sinB
S^2=1/4*b^4*sinB^2(化简)=b^2(b^2+3b+9)/2
1/BA【向量】·BC【向量】=1/ac COS B=1/[-(b+3)^2+27]
S+1/BA【向量】·BC【向量】=根号[b^2(b^2+3b+9)/2]+1/[-(b+3)^2+27]
由二次曲线性质可得，b^2+3b+9在b>0时大于零且单调递增，b^2/2在b>0时也大于零且单调递增，所以两个因子的乘积开根号也单调递增。-(b+3)^2+27在b>0时单调递减，倒数就单调递增。因此这两个因子加起来在b>0上是单调递增的。
所以只要取到b的最大值就是上式所求最大值
由第一问可知b的最大值是2，所以代入b=2时上式有最大值

Answer 2

由上可知：ac=b2.所以。cosB=a2+c2-b2/2ac>=2ac-ac/ac=1/2,即cosB=1/2所以B=60度,当且仅当a=c时取=。所以b=2.（公比为1.a=b=c）.下式相同