Question

设ai≥1(i∈1,2,3...n),求证(1+a1)(1+a2)...(1+an)≥[2^n/(n+1)](1+a1+a2+...+an)

Answer 1

这个题,先分析一下,看一看这个ai,都没规律,只有一个范围,这样的题怎么解呢?看看下面的.
(1+a1)(1+a2)...(1+an)/(1+a1+a2+...+an) ≥2^n/(n+1)证明这个就可以了,因为1+a1+a2+...+an>0.
像这类题记得先代入临界值看看什么情况,代入所有ai=1,算得刚好相等.这时得猜想左边是一个单调递增函数.由于an之间互不相干,设其中任意一个ai=x,则左边可以等于(1+a1)(1+a2)...（1+x)...(1+an)/(1+a1+a2+...+x+...+an)
常数提出来令(1+a1)(1+a2)...(1+an)=b,
1+a1+a2+...+an=c,这里面都是除去x有的那一项.
则左边简化为b(1+x)/(c+x) 把他当成一个函数y= b(1+x)/(c+x).
求导,得y的导数=bc/(c+x)^2 b,c明显大于0,则导数明显大于0,得出他为单调递增函数.这个意义就是任取一个ai当它增大则左边增大,所以当他们都为最小值1时左边最小,算得等式相等.得证.
PS:不等式证明一般要构建函数,求最值问题.希望楼主把这类问题单独归一类重点分析,找出通性通法.其实很简单.有什么问题百度HI我.