Question

已知f(x)=(m^2+m)x^(m^2-2m-1),当m取什么值时，这个函数是： 1）正比例函数2）反比例函数3）在第一象限内

已知f(x)=(m^2+m)x^(m^2-2m-1),当m取什么值时，这个函数是：
1）正比例函数2）反比例函数3）在第一象限内它的图像是上升曲线？求详细过程

Answer 1

（1）
f(x)=(m^2+m)x^(m^2-2m-1)
当m^2+m≠0，且m^2-2m-1=1时，是正比例函数
解得：m=1±根号3

（2）
当m^2+m≠0，且m^2-2m-1=-1时，反比例函数
解得：m=2

（3）
在第一象限内是增函数，在第一象限导数必须大于零：
y'=(m^2+m)(m^2-2m-1) * x^(m^2-2m-1-1) ＞0
∵ x^(m^2-2m-1-1) ＞0
∴必须(m^2+m)(m^2-2m-1)＞0
(m+1) * (m-1+根号2) * m * (m-1-根号2) ＞ 0
零点依次为-1 ＜ -根号2+1 ＜ 0 ＜ 根号2+1
∴不等式的解为：m＜-1；或 -根号2+1 ＜ m ＜0； 或 m ＞ 根号2+1
即m∈(-∞，-1），（-根号2+1 ，0），（根号2+1，+∞）

Answer 2

1）正比例函数：m^2-2m-1=1----------->公式法m=1±√3
m^2+m≠0------------->m≠0，-1
所以m=1±√3
2）反比例函数：m^2-2m-1=-1----------->m=0或者m=2
m^2+m≠0------------->m≠0，-1
所以m=2
3）在第一象限内它的图像是上升曲线，即x>0时递增，
通过函数的性质知道，系数和次数同号
(m^2-2m-1)(m^2+m)>0------------->得到m(m+1)(m-1-√2)(m-1+√2)>0
m∈(-∞，-1）∪（1-√2,0）∪（1+√2，+∞）

Answer 3

解：（1）当f(x)是正比例函数时，形如y=ax(a>0)，则m^2-2m-1=1，得m=1±√3.
（2）当f(x)是反比例函数时，形如y=1/ax，则m^2-2m-1=-1，得m=0或2.
当m=0时，m^2+m=0，所以，舍去m=0，得m=2
（3）当f(x)在第一象限是上升曲线时，在第一象限内是增函数：
y'=(m^2+m)(m^2-2m-1) * x^(m^2-2m-1-1) ＞0
x^(m^2-2m-1-1) ＞0
∴必须(m^2+m)(m^2-2m-1)＞0
(m+1+√2)(m+1) m (m+1-√2)＞0
∴m＜-1-√2；或-1＜m＜0，或m＞√2-1
即m∈(-∞，-1-√2），（-1，0），（√2-1，+∞）

Answer 4

【解】：
1.设正比例函数为y=Kx,（K≠0）则有：
m^2+m≠0
m^2-2m-1>0
解题得：m≠-1,m>√2+1
2.设反比例函数为y=k/x,(k≠0),则有：
m^2+m≠0
m^2-2m-1<0
解题得：m≠-1,m<√2+1
3.在第一象限是上升曲线，则Y随X的增大而增大。
则有：
y=Kx,（K>0）
y=K/x,（K<0）
套上公式合并解得。

Answer 5

解：1）因为x的系数m^2+m的正负不影响函数的正反比例，所以只需要x的指数大于零，
即m^2-2m-1>0，解得m>1+√2或m<1-√2 ，所以m的取值为m>1+√2或m<1-√2；
2）根据1）同理可知，只要m^2-2m-1<0,f(x) 就是反比例函数，解得1-√2<m<1+√2；
3）在第一象限的增函数，所以x的范围为x>0,要几种情况来讨论：
情况1：若f(x)为一次函数：则m=√3；
情况2：若f(x)为偶/奇函数：m+m^2>0，（m-1）^2>2
综合上述：m^2>-m，且m>1+√2^应舍去，m<1-√2