Question

若干个连续的自然数相乘的积是15,120求出，符合这个条件的数有哪些？

Answer 1

若干个连续的自然数相乘的积可以表示成 n!(n + 1)!...m! 的形式，其中 n, m 是自然数且 n < m。要求这个积等于 15120，因此可以列出如下等式：

n!(n+1)!(n+2)!...(m-1)!m! = 15120

将 15120 分解质因数得到 2^4 × 3^3 × 5 × 7。因为连续的自然数相乘的积中至少包含一个偶数和一个 3，所以需要选择一个自然数 k，使得 k 和 k+1 中至少有一个数是 2 或 3 的倍数，这样才能让积中包含足够的 2 和 3。

考虑 2 的情况，由于 15120 可以被 16 整除，因此最多只有一个连续的自然数包含因子 2^4。因此，将 n 从 1 开始尝试，直到找到最大的 n，使得 n!(n+1)!...(n+k)! 中包含了所有的 2 的因子，那么 k+1 就是最小的连续自然数，使得 k+1 到 m 之间的连续自然数的乘积等于 15120。

可以按照上述方法，先确定 n 和 k 的值，然后计算出 m 的值。这样可以得到符合条件的连续自然数有：

7 × 8 × 9 × 10 = 5040
5 × 6 × 7 × 8 × 9 = 15120

因此，符合条件的连续自然数有 7、8、9、10 和 5、6、7、8、9 两组。

Answer 2

我们可以通过数学方法来解决这个问题。首先，将15120分解质因数：

15120 = 2^4 × 3^3 × 5 × 7

接下来，我们考虑将这些质因数分配给一些连续的自然数。由于15120包含了2、3、5和7这四个质因数，我们可以想到将这些质因数分配给2到5个自然数的积上。具体来说，当积有2个自然数时，可以分配2个质因数；当积有3个自然数时，可以分配3个质因数，以此类推。由于15120有4个2、3个3、1个5和1个7，所以我们可以将它们分配给3个连续的自然数。具体的分配方式如下：

积有3个自然数时，可以分配3个质因数，因此只能将4个2和1个3分配到一起，即：
2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48

积有4个自然数时，可以分配4个质因数，因此可以将3个3、1个5和1个7分配到一起，即：
3 × 3 × 3 × 5 = 135

积有5个自然数时，可以分配5个质因数，因此可以将1个2、1个3、1个5和1个7分配到一起，即：
2 × 3 × 5 × 7 = 210

因此，符合条件的数有48、135和210。