在平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=a,∠B=90°,∠C=135°沿对角AC将四边形折成直二面角,
在平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=a,∠B=90°,∠C=135°沿对角AC将四边形折成直二面角,(1)求证:AB⊥平面BCD(2)求点C的到平面ABD的距离(用...
在平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=a,∠B=90°,∠C=135°沿对角AC将四边形折成直二面角,
(1)求证:AB⊥平面BCD
(2)求点C的到平面ABD的距离(用等积法 展开
(1)求证:AB⊥平面BCD
(2)求点C的到平面ABD的距离(用等积法 展开
3个回答
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1)。∵∠C=135° ∴∠ACD=90°
又∵沿对角AC将四边形折成直二面角
∴CD⊥面ABC
∴CD⊥AB
又∵∠B=90° 即AB⊥BC
∴AB⊥平面BCD
2).∵∠B=90° ∴AC=√(AB²+BC²)=√2 a
由1)知CD⊥面ABC, ∴∠BCD=∠ACD=90°
∴BD=√(BC²+CD²)=√2 a AD=√(AC²+CD²)=√3 a
∵AB²+BD²=a²+(√2 a )²=(√3 a )²=AD²
∴BD⊥AB
设点C的到平面ABD的距离为h
∴面积△ABD*h=面积BCD*AB
即1/2AB*BD*h=1/2BC*CD*AB
解得h=(√2 /2)a
又∵沿对角AC将四边形折成直二面角
∴CD⊥面ABC
∴CD⊥AB
又∵∠B=90° 即AB⊥BC
∴AB⊥平面BCD
2).∵∠B=90° ∴AC=√(AB²+BC²)=√2 a
由1)知CD⊥面ABC, ∴∠BCD=∠ACD=90°
∴BD=√(BC²+CD²)=√2 a AD=√(AC²+CD²)=√3 a
∵AB²+BD²=a²+(√2 a )²=(√3 a )²=AD²
∴BD⊥AB
设点C的到平面ABD的距离为h
∴面积△ABD*h=面积BCD*AB
即1/2AB*BD*h=1/2BC*CD*AB
解得h=(√2 /2)a
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(1)AB=BC=a,∠B=90°,
∴∠ACB=45°,
又∠BCD=135°,
∴∠ACD=90°。
∵二面角B-AC-D是直二面角,
∴DC⊥平面ABC,
∴AB⊥DC,又AB⊥BC,
∴AB⊥平面BCD.
(2)易知AB⊥BD,BD=a√2,
∴S△ABD=AB*BD/2=a^2*(√2)/2,
设点C的到平面ABD的距离为h,则
则V(C-ABD)=V(A-BCD),
∴ha^2*(√2)/6=a^3/6,
∴h=a(√2)/2,为所求。
∴∠ACB=45°,
又∠BCD=135°,
∴∠ACD=90°。
∵二面角B-AC-D是直二面角,
∴DC⊥平面ABC,
∴AB⊥DC,又AB⊥BC,
∴AB⊥平面BCD.
(2)易知AB⊥BD,BD=a√2,
∴S△ABD=AB*BD/2=a^2*(√2)/2,
设点C的到平面ABD的距离为h,则
则V(C-ABD)=V(A-BCD),
∴ha^2*(√2)/6=a^3/6,
∴h=a(√2)/2,为所求。
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解:1、∵∠B=90°,AB=BC
∴∠BCA=45°
而∠C=135°
∴∠ACD=90°即DC⊥AC
又∵面ACD⊥面ABC
∴DC⊥面ABC
DC⊥AB
而AB⊥BC
∴AB⊥面BCD
2、从C画一直线垂直于面ABD,交于E
∵DC⊥面ABC,AB=BC=CD=a
∴四面体ABCD体积为1/2AB*BC*CD=1/2a3,BD=√2a
∴面ABD面积为√2/2a2
∴CE=√2/2a
∴∠BCA=45°
而∠C=135°
∴∠ACD=90°即DC⊥AC
又∵面ACD⊥面ABC
∴DC⊥面ABC
DC⊥AB
而AB⊥BC
∴AB⊥面BCD
2、从C画一直线垂直于面ABD,交于E
∵DC⊥面ABC,AB=BC=CD=a
∴四面体ABCD体积为1/2AB*BC*CD=1/2a3,BD=√2a
∴面ABD面积为√2/2a2
∴CE=√2/2a
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