Question

一个看似简单但令人头疼的几何问题，望高手解答！！！

定义：平面上两点P1、P2，当直线P1P2的斜率为k时，称为“P1、P2以斜率k配对”
问题：有互不相等的k1、k2、k3三个斜率，以及一个平面点集{Pn}(n=1,2,3...)，若要求：对于点集中的任何一个点Pi，以k1、k2、k3中的任一个斜率，至少能在该点集中找到一个不同的点Pj与之配对。问：该点集的最小尺寸是多少（即n的最小值）？此时该点集中的点应该满足什么排布规律？并证明为什么此时的n是满足条件的最小值？
我给出一个自己的回答吧，见图
设图中MN、NL、LM的斜率分别为k1,k2,k3，则点集{A,B,C,D,E,F}满足问题条件，大家只需注意图中相关点之间连线的平行关系即可明白，毋庸赘言。对于给定的三个斜率值，我能根据一定的画图规则得到六点点集，但不能给出严格的数学证明（用符号、公式），证明六点是满足条件的最小点数，不能以理服人。这个插图就当做抛砖引玉吧，对于高手来说也许这个问题很简单，请不吝赐教！
注：一楼没有完全理解我的问题，你所说的三点是不可能符合条件的，只能保证每个点相对某两个斜率值有另外的点与之配对，但不能保证相对所有三个斜率值都能配对。

Answer 1

两个点，可以确定一个斜率。只要找个最小的n，使得
C(2,n)>=3 就行了

显然n=3

Answer 2

1。证明n>5：
1)。至少存在四点不妨设为A、B、D、F，满足AB、AD、AF的斜率为k1、k2、k3；
2)。AB、AC、AD中至少存在一条线段不妨设为AD，满足另两条AB、AF在直线AD两侧；
3)。B、F各至少存在一点以AD的斜率k2配对的点不妨设为C、E；
4)。BC//AD//FE，至少六点A、B、C、D、E、F。
2。证明对任意互不相等的k1、k2、k3存在n=6的满足条件的点集：的斜率
1)。作平行四边形APDQ，使AQ、PD的斜率为k3，使AP、DQ的斜率为k1，使AD的斜率为k2；
2)。作BC//AD分别交PA、PD于异于P、Q的点B、C；
3)。作BE//PD交QD于E，作CF//PA交AQ于F，
4)。QA：QD=PD：PA=PC：PB=AF：DE，∴EF//AD，{A，B，C，D，E，F}为满足条件的点集。