Question

对实对称矩阵进行正交相似对角化的 正交阵 是否唯一？除了施密特正交化法，还有什么正交化法？

对实二次型用正交化化为标准型，所得的标准型唯一吗？

Answer 1

不唯一，比如三阶正交阵中，将第一列与第三列交换后，仍可相似对角化，只不过对角矩阵中特征值顺序变了变位置。
还有可能由于正交化的步骤不同，使得正交阵不同。
施密特正交化总的来说还是有些麻烦的，如果是做正交阵，相似对角化的问题时，对于重根情况，可以直接配正交向量，而避开施密特，这样可以省时省力。
比如对于（1，1，1）x=0的情况，可以先写出（1，-1，0），然后根据前面的向量和方程配出（1，1，-2）这种情况，然后再分别单位化就可以了

Answer 2

肯定不唯一啦，你随便改变其中一行所有元素的符号，依然可以实现你上面说到的功能的。正交化方法很多，数值计算中常用的还有旋转法。

Answer 3

不唯一，正交阵可由矩阵A来求，也可以通过一个已知的特征向量(a,b,c)来求,ax1+bx2+cx3=0
在正交化‘单位化。具体可见李永乐考研辅导，458页和459页有两个例题。正交变换的几何意义有两种，旋转和镜像。或是两者叠加