Question

如图，在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD平行BC平行FE,AB⊥AD,M为EC中点,AF=AB=BC=FE=1/2AD

如图，在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD平行BC平行FE,AB⊥AD,M为EC中点,AF=AB=BC=FE=1/2AD
(1)异面直线BF与DE所成角大小。
(2)证明：平面AMD⊥平面CDE

Answer 1

1、设FA=AB=BC=EF=1，AD=2，取AD中点N，连结FN，
FA⊥平面ABCD，AD∈平面ABCD，
FA⊥AD，
FE//AD，
三角形FAN是等腰直角三角形，
FN=√2，
FE=DN，四边形FEDN是平行四边形，
则FN//ED，
BF与FN的成角就是BF与DE的成角，
连结BN，
三角形AFB也是等腰直角三角形，
BF=√2，
〈BAN=90
BA=AN=1，
三角形BAN也是等腰直角三角形，
BN=√2，
故三角形FBN是正三角形，
〈BFN=60度，
所以BF与DE成角为60度。
2、连结DM、AM，CN，
四边形ABCN是正方形，CN=AB=1，
DN=AD/2=1，
CD=√2，
ED=√2，
DE=DC，
三角形ECD是等腰三角形，
DM是中线，也是CE边上的高，
故DM⊥CE，
同理，AE=AC=√2，
三角形AEC也是等腰三角形，
AM⊥CE，
AM∩DM=M，
CE⊥平面AMD，
CE∈平面CED，
∴平面AMD⊥平面CDE。

Answer 2

解：设AF=AB=BC=FE=a，在直角梯形ABCD和ADEF中，可求得CD=DE=√2a,
由于AD‖BC，AD在平面ADEF内，BC不在平面ADEF内，所以BC‖平面ADEF，又平BCEF
经过直线BC，且与平面ADEF相交予EF，由线面平行性质定理，得BC‖EF，又BC=EF，所以
四边形BCEF是平行四边形，有CE=BF，且CE‖BF。
在等腰直角三角形ABF中，可求得BF=√2a，所以CE=√2a，于是三角形CDE是等边三角形。
所以∠CED=60°，而CE‖BF，所以异面直线BF与DE所成角是60°。
2）因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥AD，又AB⊥AD，所以AD⊥平面ABF，从而AD⊥BF ,
又CE‖BF，所以AD⊥CE， 又由于M为等边三角形CDE的边EC中点,所以CE⊥MD，
所以CE⊥平面AMD，而平面CDE经过直线CE，所以平面AMD⊥平面CDE

Answer 3

设AF=AB=BC=FE=a，在直角梯形ABCD和ADEF中，可求得CD=DE=√2a,
由于AD‖BC，AD在平面ADEF内，BC不在平面ADEF内，所以BC‖平面ADEF，又平BCEF
经过直线BC，且与平面ADEF相交予EF，由线面平行性质定理，得BC‖EF，又BC=EF，所以
四边形BCEF是平行四边形，有CE=BF，且CE‖BF。
在等腰直角三角形ABF中，可求得BF=√2a，所以CE=√2a，于是三角形CDE是等边三角形。
所以∠CED=60°，而CE‖BF，所以异面直线BF与DE所成角是60°。
2）因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥AD，又AB⊥AD，所以AD⊥平面ABF，从而AD⊥BF ,
又CE‖BF，所以AD⊥CE， 又由于M为等边三角形CDE的边EC中点,所以CE⊥MD，
所以CE⊥平面AMD，而平面CDE经过直线CE，所以平面AMD⊥平面CDE！！肯定正确