Question

一道等差数列的题，麻烦帮忙解下，谢谢了

将正三角形ABC分割成n^2（n大于等于2，n属于正整数）个全等的小正三角形，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于三角形ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列。若顶点A,B,C处的3个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f（n），则f（n）=？
谢谢1楼的兄弟了，可是这道题的答案是(n+1)(n+2)/6，希望有牛人能帮忙解答下,这是当n=2和n=3时的图

Answer 1

由分成n平方个，则各边分成n段，边长变为原△ABC的1/n。

以平行AC为例

AB上的点,首项a，等差(b-a)/n：a,[(n-1)a+b]/n, [(n-2)a+2b]/n, [(n-3)a+3b]/n,...., 薯誉[a+(n-1)b]/n,b

CB上的点,首项c，等差(b-c)/n：c,[(n-1)c+b]/n, [(n-2)c+2b]/n, [(n-3)c+3b]/n,....., [c+(n-1)b]/n,b

可以看到，有n+1列，除了最后一个是点B外，其他是一组平行线，且平行线上的点为等差数列。假设各平行线等差数列首项在AB上，最后一项在CB上

则除了点B，由数帆段公轿昌式S=n(a1+an)/2,这n列平行线和分别为：

(n+1)(a+c)/2,

n[(n-1)a+(n-1)c+2b]/n/2, 

(n-1)[(n-2)a+(n-2)c+2*2b]/n/2, 

(n-2)[(n-3)a+(n-3)c+2*3b]/n/2,

(n-3) [(n-4)a+(n-4)c+2*4b]/n/2,

.

.

.

3[2a+2c+2(n-2)b]/n/2,

2[a+c+2*(n-1)b]/n/2

b（点B）

发现可以分别对含a、b、c项相加。

F(a)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]a/2n.

F(c)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]c/2n.

F(b)=[(n-1)+(n-2)+...+2+1]b/n+b=(n+1)b.

同理，平行BC、AB情况分别为

G(b)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]b/2n.

G(c)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]c/2n.

G(a)=[(n-1)+(n-2)+...+2+1]a/n+a=(n+1)a.

和

H(a)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]a/2n.

H(b)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]b/2n.

H(c)=[(n-1)+(n-2)+...+2+1]c/n+c=(n+1)c.

∴f(n)=[F(a)+G(a)+H(a)+F(b)+G(b)+H(b)+F(c)+G(c)+H(c)]/3

=[S(n)+n(n+1)]/3n

此时，只要处理数列{Dn},dn=(n+1)n的前n项和S(n)就可以了。

Answer 2

利宴明用等晌数告差数列的求和公式，以及等差数列中，等差中项的性质
结果是(n+1)(n+2)/毕拆6