Question

如图，矩形A'BC'O'是矩形OABC（边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴正半轴上）

如图，矩形A'BC'O'是矩形OABC（边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴正半轴上）
绕点B逆时针旋转的得到的，O’点在x轴的正半轴上，B点的坐标为（1，3）
（1）如果二次函数y=ax2+bx+c（a不等于0）的图像经过点O,O’两点且图像顶点M的纵坐标为-1，求这个二次函数的解析式。
（2）在（1）中求出的二次函数图像对称轴的右支上是否存在点P,使得三角形POM为直角三角形？若存在，请求出p点的坐标和三角形POM的面积；若不存在，请说明理由
（3）求边C'O'所在直线的解析式
图弄不到，但很好画的 谢谢各位 ..

Answer 1

(1)由题可知O’（2，0）M（1，-1）O（0，0）由待定系数法知这个二次函数的解析式为
y=x2-2x.
(2)由（1）知的坐标可求OM直线方程为y=-x, 则当M为直角顶点时MP直线方程为y=x-2 P点坐标为（2，0）面积为二分之根号2 当O点为直角顶点时OP直线方程为y=x P点坐标为（3，3）面积为3
（3）由高中的斜率的定义和正切的和差求出C'O'所在直线的斜率为-4/3 C'O'所在直线方程为
y=-4/3x+8/3

Answer 2

解：（1）连接BO，BO′，则BO=BO′
∵BA⊥OO′
∴AO=AO′
∵B（1，3）
∴O′（2，0），M（1，-1），
∴4a+2b+c=0a+b+c=-1c=0​，
解得a=1，b=-2，c=0，
∴所求二次函数的解析式为y=x2-2x．

（2）设存在满足题设条件的点P（x，y），
连接OM，PM，OP，过P作PN⊥x轴于N，则∠POM=90°
∵M（1，-1），A（1，0），|AM|=|OA|
∴∠MOA=45°
∴∠PON=45°，
∴|ON|=|NP|即x=y
∵P（x，y）在二次函数y=x2-2x的图象上
∴x=x2-2x
解得x=0或x=3
∵P（x，y）在对称轴的右支上
∴x＞1
∴x=3y=3即P（3，3）是所求的点．
连接MO′，显然△OMO′为等腰直角三角形．O′为满足条件的点O′（2，0），
∴满足条件的点是P（2，0）或P（3，3），
∴OP=3
2，OM=2
∴S△POM=12OP•OM=3或S△POM=12OM•OM′=1；

（3）设AB与C′O′的交点为D（1，y）
显然Rt△ADO′≌Rt△C′DB，
在Rt△ADO′中，AO′2+AD2=O′D2
即1+y2=（3-y）2
解得y=43
∴D（1，43），
设边C'O'所在直线的解析式为y=kx+b则k+b=
432k+b=0​，
解得k=-43，b=83，
∴所求直线解析式为y=-43x+83．

Answer 3

解：（1）如图，连接OB，O′B，则OB=O′B，
∵四边形OABC是矩形，
∴BA⊥OA，
∴AO=AO′，
∵B点的坐标为（1，3），
∴OA=1，
∴AO′=1，
∴点O′的坐标是（2，0），
△O′DB为等腰三角形，
理由如下：在△BC′D与△O′AD中，
∠C′=∠DAO′=90°∠BDC′=∠O′DABC′=AO′=1，
∴△BC′D≌△O′AD（AAS），
∴BD=O′D，
∴△O′DB是等腰三角形；
（2）设点D的坐标为（1，a），则AD=a，
∵点B的坐标是（1，3），
∴O′D=3-a，
在Rt△ADO′中，AD2+AO′2=O′D2，
∴a2+12=（3-a）2，
解得a=43，
∴点D的坐标为（1，43），
设直线C′O′的解析式为y=kx+b，
则2k+b=0k+b=43，
解得k=-43b =83，
∴边C′O′所在直线的解析式：y=-43x+83；
（3）∵AM=1，AO=1，且AM⊥AO，
∴△AOM是等腰直角三角形，
①PM是另一直角边时，∠PMA=45°，
∴PA=AM=1，点P与点O′重合，
∴点P的坐标是（2，0），
②PO是另一直角边，∠POA=45°，则PO所在的直线为y=x，
∴y=-43x+83y=x，
解得x=87y=87，
∴点P的坐标为P（2，0）或（87，87）．
点评：本题是对一次函数的综合考查，主要有矩形的性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理等，综合性较强，难度中等，需仔细分析细心计算．

Answer 4

解：（1）如图，连接OB，O′B，则OB=O′B，
∵四边形OABC是矩形，
∴BA⊥OA，
∴AO=AO′，
∵B点的坐标为（1，3），
∴OA=1，
∴AO′=1，
∴点O′的坐标是（2，0），
△O′DB为等腰三角形，
理由如下：在△BC′D与△O′AD中，
∠C′=∠DAO′=90°∠BDC′=∠O′DABC′=AO′=1​，
∴△BC′D≌△O′AD（AAS），
∴BD=O′D，
∴△O′DB是等腰三角形；

（2）设点D的坐标为（1，a），则AD=a，
∵点B的坐标是（1，3），
∴O′D=3-a，
在Rt△ADO′中，AD2+AO′2=O′D2，
∴a2+12=（3-a）2，
解得a=43，
∴点D的坐标为（1，43），
设直线C′O′的解析式为y=kx+b，
则2k+b=0k+b=
43​，
解得k=-
43b =
83​，
∴边C′O′所在直线的解析式：y=-43x+83；

（3）∵AM=1，AO=1，且AM⊥AO，
∴△AOM是等腰直角三角形，
①PM是另一直角边时，∠PMA=45°，
∴PA=AM=1，点P与点O′重合，
∴点P的坐标是（2，0），
②PO是另一直角边，∠POA=45°，则PO所在的直线为y=x，
∴y=-
43x+
83y=x​，
解得x=
87y=
87​，
∴点P的坐标为P（2，0）或（87，87）．