Question

1.已知数列{an}中, a1=1, an+1=5an+2n-1, 求数列的通项 a

Answer 1

首先，我们可以逐步计算出数列前几项：

a1 = 1

a2 = 5a1 + 2×1 - 1 = 5×1 + 1 = 6

a3 = 5a2 + 2×2 - 1 = 5×6 + 3 = 33

a4 = 5a3 + 2×3 - 1 = 5×33 + 5 = 170

a5 = 5a4 + 2×4 - 1 = 5×170 + 7 = 857

可以发现，数列 {an} 中的每一项都可以用前一项来递推得到。因此，我们可以尝试使用数学归纳法来证明一个通项公式。

当 n = 1 时，a1 = 1，符合题意。

假设当 n = k 时，an = (2^(k-1) + 1)^2 / 4。

则当 n = k+1 时，an+1 = 5an + 2n - 1

= 5(2^k+1^2 / 4) + 2(k+1) - 1

= (5×2^k + 2k + 7) / 4

= [(2^(k+1) + 1)^2 / 4]

因此，当 n = k+1 时，通项公式仍然成立。

综上所述，数列 {an} 的通项公式为：

an = (2^(n-1) + 1)^2 / 4

其中 n 表示数列中的项数，n = 1，2，3，...。