Question

已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点，若椭圆C上存在点P，使得向量OP=向量OA+向量OB，求

已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点，若椭圆C上存在点P，使得向量OP=向量OA+向量OB，求直线l，

要过程谢谢！

Answer 1

a²=4，b²=2；c²=a²-b²=2；∴F1（-√2,0）
如果直线l不存在斜率，那么l方程为：x=-√2，A,B坐标分别为:(-√2,1)，（-√2，-1）
向量OA=（-√2，1），向量OB=（-√2,-1），向量OP=（-2√2,0）改点不在椭圆上；
∴假设直线l的斜率为k，则方程为y=k（x+√2）与椭圆方程联立消去y有：
（2k²+1）x²+4√2k²x+4k²-4=0；
设A（x1，y1）B（x2，y2）则：x1+x2=-4√2k²/（2k²+1）；x1x2=4（k²-1）/（2k²+1）；
向量OA=(x1,y1), 向量OB=（x2，y2）
则向量OP=（x1+x2，y1+y2）
∴代入椭圆方程x²/4+y²/2=1有：（x1+x2）²/4 +（y1+y2）²/2=1；
又y1=k(x1+√2)，y2=k（x2+√2）代入上式有：（x1+x2）²/4 +k²（x1+x2+2√2）²/2=1；
又x1+x2=-4√2k²/（2k²+1）代入上式有：
[-4√2k²/（2k²+1）]²/4 +k²[-4√2k²/（2k²+1）+2√2]²/2=1
解：k=？
然后求出方程^_^