Question

求助两道高中数学题

1.已知抛物线C的方程为X^2=1/2Y，过点A（0，-1） B（t,3)的直线与抛物线C无公共点，求实数t的范围
2.已知点A（-2,0）B（0，2），点C是圆X^2+Y^2-2X=0上任意一点，则三角形ABC面积的最小值为？

Answer 1

1.
设过A、B点的直线方程为y=kx+b
将点A（0，-1） B（t,3)带人直线方程得：
-1=b，3=kt+b=kt-1
得k=4/t
则过A、B点的直线方程是y=4x/t-1
由抛物线C的方程为X²=1/2Y
得y=2x²
将上式带人直线方程
得2x²=4x/t-1
即2x²-4x/t+1=0 （1）
直线与抛物线C无公共点
则（1）式Δ=（-4/t)²-4×2×1<0
即16/t²<8；2<t²
t＞√2，t＜-√2
2、已知点A（-2,0）B（0，2），点C是圆X^2+Y^2-2X=0上任意一点，则三角形ABC面积的最小值为？
已知过A、B点的直线为AB，C为圆上任意一点，
当C点到直线的距离最小时，三角形ABC面积的为最小；
C点到直线AB的最小距离为圆心到直线AB的距离减去圆的半径；
设过A、B点的直线方程为y=kx+b
将点A（-2,0）B（0，2）带人直线方程得：
b=2，0=-2k+b=-2k+2，得k=1
带人直线方程得
X-Y+2=0
圆心坐标为（1，0）
即C点到AB的最小距离为3倍根号2/2；
所以三角形ABC面积的最小值为3.

Answer 2

1.
t=0 时直线方程 为 x=0 不满足条件
t不等于0时，写出直线AB方程，并与抛物线方程联立，应该满足无解条件，据此求出t的范围。

2.
圆的参数方程 x=cosϴ+1， y=sinϴ 然后写出直线AB方程。写出圆上一点C（cosϴ+1，sinϴ ）到直线AB的距离y。当y取得最小值时 三角形ABC面积最小，你懂的。

Answer 3

（1）直线AB为y=4/tx-1代入抛物线的方程为X^2=1/2（4/tx-1）=2/tx-1/2,整理得2tx^2-4x-t=0
要求没交点，只要判别式小于0即可，即16-8t^2<0即可，所以t的范围是（-∞，-√2）∪（√2，+∞）
（2）如果要AB为三角形ABC的底边，所以只要求圆上的点到直线AB的距离最近的点即可，已知圆心为（1,0）半径为1，解得圆心到直线的距离为3/2√2,所以三角形面积为1/2（2√2（3/2√2-1）=3-√2

Answer 4

1.由点A（0，-1） B（t,3)得直线AB的方程为y=4/t*x-1,代入X^2=1/2Y得2tX^2-4X+t=0,
又当t=0时直线与抛物线有一个交点，不符合题意；
当t≠0是利用Δ<0,可得t>根号2或t<-根号2.
2.已知AB长度为定值，C为圆上任意一点，
所以三角形ABC面积的最小时，C点的位置为到直线的距离最小的圆上的点；
所以三角形ABC面积的最小时C点到AB的最小距离为圆心到直线AB的距离减去圆的半径；
AB：X-Y+2=0,圆心坐标为（1，0）
即C点到AB的最小距离为3倍根号2/2；
所以三角形ABC面积的最小值为3.

Answer 5

1.已知抛物线C的方程为X^2=1/2Y，过点A（0，-1） B（t,3)的直线与抛物线C无公共点，求实数t的范围
解：AB的斜率=4/t,AB的方程为y=(4/t)x-1,
代入x^2=y/2,整理得
x^2-(2/t)x+1/2=0,
AB与抛物线C无公共点，
∴△=（2/t)^2-2<0,(2-t^2)/t^2<0,t^2>2,
∴t<-√2，或t>√2，为所求。

2.已知点A（-2,0）B（0，2），点C是圆X^2+Y^2-2X=0上任意一点，则三角形ABC面积的最小值为？
解：AB:x-y+2=0.
点C是圆X^2+Y^2-2X=0,即（x-1)^2+y^2=1上任意一点,
∴设C(1+cost,sint),
C到AB的距离h=|cost-sint+3|/√2=|（√2）cos(t+45°）+3|/√2，
当t=135°时h取最小值（3-√2）/√2.
|AB|=2√2，
∴三角形ABC面积的最小值为3-√2.

Answer 6

y =2x^2 的一阶导数为 y’=4x
设T (x0 ,y0 )y =2x^2 上得点，过A（0；-1）和(x0 ,y0 )点直线的斜率为K =(y0 +1)/x0=4x0 ;又y0=2x0^2 得（x0 ,y0 ）=(_+2^2/2 , 1),直线TA :y =_+2*2^(1/2)x -1,联立直线y =3解得t=_+ 2^(1/2) .做草图可知t的范围为t＞2^(1/2) .或t＜-2^(1/2) .

Answer 7

1.t=0不合题意，t不等于0时直线方程为Y=4X/t-1 与抛物线方程联立得：
X^2-2X/t+1/2=0令Δ=（-2/t)^2-4*1*(1/2)<0解得t^2>2
2.若使面积最小，只需C点到直线AB距离最短即可即只需求直线斜率为1且与圆左侧相切即可
设y=x+k则x^2+(x+k)^2-2x=0令Δ=0求得k=1+sqr(2)[舍去]k=1-sqr（2）